Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/806

$b$ étant la constante arbitraire. En intégrant par partie, on a

${\begin{aligned}\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right)r\log .{\frac {r}{l}}dr&=-{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-2\log .{\frac {r}{l}}\right)\int \mathrm {R} rdr\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{4}}\int \mathrm {R} r^{3}\left(1-2\log .{\frac {r}{l}}\right)dr,\\\int \left(\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr\right)rdr&={\frac {r^{2}}{2}}\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr-{\frac {1}{2}}\int \mathrm {R} r^{3}\log .{\frac {r}{l}}dr.\end{aligned}}$

Nous supposerons que ces intégrales simples s’évanouissent avec $r\,;$ et la quantité ${\frac {dz}{dr}}$ ne devant être infinie pour aucune valeur de $r,$ nous ferons $b=0$ pour que le terme ${\frac {b}{r}}$ disparaisse de son expression qui sera alors :

${\frac {dz}{dr}}={\frac {cr}{2}}+k'\left[{\frac {pr^{3}}{16\pi l^{2}}}-{\frac {r}{4}}\left(1-2\log .{\frac {r}{l}}\right)\int \mathrm {R} rdr\right.$

$\left.-{\frac {r}{2}}\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr+{\frac {1}{4r}}\int \mathrm {R} r^{3}dr\right].$

Je fais $r=l$ dans cette valeur et dans celle de ${\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}$ qui s’en déduit, puis je les substitue dans la seconde équation (2) ou (3), ce qui donne

$c=-k'\left[{\frac {13p}{40\pi }}+{\frac {3\varpi }{20\pi }}-\int _{0}^{l}\mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr-{\frac {3}{10l^{2}}}\int \mathrm {R} r^{3}dr\right],$

pour la valeur de $c$ qui aura lieu dans les deux cas de la plaque entièrement libre et de la plaque appuyée par son contour. Dans le troisième cas, de la plaque dont les bords sont encastrés, on conclura de l’expression de ${\frac {dz}{dr}}$ et de la seconde équation (4) :

$c=-k'\left[{\frac {p}{8\pi }}-{\frac {\varpi }{4\pi }}-\int _{0}^{l}\mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{l}\mathrm {R} r^{3}dr\right].$