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Ainsi la constante $c$ est déterminée pour tous les cas.

En intégrant une dernière fois, et désignant par $f$ la constante arbitraire, on aura

$z=f+{\frac {cr^{2}}{4}}+k'\left[{\frac {pr^{4}}{64\pi l^{2}}}-{\frac {1}{4}}\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right)\log .\left(1+2\log .{\frac {r}{l}}\right)rdr\right.$

$\left.-{\frac {1}{2}}\int \left(\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr\right)rdr+{\frac {1}{4}}\int \left(\int \mathrm {R} r^{3}dr\right){\frac {dr}{r}}\right].$

L’intégration par partie donne

$\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right)(1-2\log .{\frac {r}{l}})rdr=r^{2}(1-\log .{\frac {r}{l}})nt\mathrm {R} rdr$

$-\int \mathrm {R} \left(1-\log .{\frac {r}{l}}\right)r^{3}dr,$

$\int \left(\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr\right)rdr={\frac {r^{2}}{2}}\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr-{\frac {1}{2}}\int \mathrm {R} r^{3}\log .{\frac {r}{l}}dr,$

$\int \left(\int \mathrm {R} r^{3}dr\right){\frac {dr}{r}}=\log .{\frac {r}{l}}\int \mathrm {R} r^{3}dr-\int \mathrm {R} r^{3}\log .{\frac {r}{l}}dr.$

Nous conviendrons de faire commencer ces intégrales simples avec $r,$ et nous aurons finalement

$\left.{\begin{aligned}z=&f+{\frac {cr^{2}}{4}}+{\frac {k'}{4}}\left[{\frac {pr^{4}}{16\pi l^{2}}}-r^{2}\left(1-\log .{\frac {r}{l}}\right)\int \mathrm {R} rdr\right.\\&\left.+\left(1+\log .{\frac {r}{l}}\right)\int \mathrm {R} r^{3}dr-r^{2}\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr-\int \mathrm {R} r^{3}\log .{\frac {r}{l}}dr\right],\end{aligned}}\right\}(5)$

pour l’équation de la surface formée par la plaque en équilibre.

(77) Si la plaque est entièrement libre, la constante $f$ restera indéterminée ; et, en effet, il est indifférent alors que la plaque occupe dans l’espace une position ou une autre, pourvu qu’elle soit horizontale. Abstraction faite de cette constante, l’équation de la plaque sera la même dans ce cas et dans