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celui du contour appuyé verticalement, puisque dans ces deux cas il y faudra mettre la même valeur de la constante $c.$ Lorsque le contour sera appuyé ou qu’il sera encastré, la condition $z=0$ pour $r=l$ fera connaître la valeur de $f.$ On y mettra pour $c$ la première ou la seconde des deux valeurs de cette constante précédemment calculées, selon que la plaque sera appuyée ou encastrée par les bords. Dans les deux cas, la constante $f$ sera la flèche de la plaque courbée par son poids et par la pression qu’elle éprouve. En conservant $f$ pour la représenter dans le cas du contour appuyé, et la désignant par $f'$ lorsque les bords sont encastrés, on aura

${\begin{aligned}f\;&={\frac {k'l^{2}}{4}}\left({\frac {21p}{80\pi }}+{\frac {13\varpi }{20\pi }}-{\frac {13}{10l^{2}}}\int _{0}^{l}\mathrm {R} r^{3}dr+{\frac {1}{l^{2}}}\int _{0}^{l}\mathrm {R} r^{3}\log .{\frac {r}{l}}dr\right),\\f'&={\frac {k'l^{2}}{4}}\left({\frac {p}{16\pi }}+{\frac {\varpi }{4\pi }}-{\frac {1}{2l^{2}}}\int _{0}^{l}\mathrm {R} r^{3}dr+{\frac {1}{l^{2}}}\int _{0}^{l}\mathrm {R} r^{3}\log .{\frac {r}{l}}dr\right).\end{aligned}}$

Si la pression $\mathrm {R}$ est partout la même, et par conséquent égale à ${\frac {\varpi }{\pi l^{2}}},$ on effectuera sans difficulté les intégrations indiquées. On trouve alors que la quantité $\log .{\frac {r}{l}}$ disparaît dans l’équation (5) qui se réduit à celle d’un paraboloïde de révolution. En remettant pour $k'$ sa valeur, celles de $f$ et $f'$ deviennent

$f={\frac {21hl^{2}}{\varepsilon ^{2}}}(p+\varpi ),\qquad f'={\frac {5hl^{2}}{\varepsilon ^{2}}}(p+\varpi ),$

$h$ étant un coefficient qui dépend uniquement de l’élasticité propre de la matière dont la plaque est formée, et qui est d’autant plus grand, que cette élasticité ou la quantité $k$ est plus petite.