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$\varphi ={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dz}{dr}}.$

Soient $z'$ et $z''$ deux autres fonctions de $r$ et $t,$ telles que l’on ait

${\frac {dz'}{dt}}+a{\sqrt {-1}}\left({\frac {d^{2}z'}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dz'}{dr}}\right)=0,\quad {\frac {dz''}{dt}}-a{\sqrt {-1}}\left({\frac {d^{2}z''}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dz''}{dr}}\right)=0\,;$

on satisfera à l’équation (6) au moyen de $z=z'$ et de $z=z''\,;$ et si l’on prend pour $z'$ et $z''$ leurs valeurs les plus générales, l’intégrale complète de cette équation sera

$z=z'+z''.$

Or, d’après ce que j’ai trouvé dans un autre Mémoire, ces valeurs exprimées sous forme finie sont :

${\begin{aligned}z'\;=&\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{0}^{\pi }f\left(r\cos .\omega +2h\alpha {\sqrt {at}}\right)d\omega \right.\\&\left.+\int _{0}^{\pi }\operatorname {F} \left(r\cos .\omega +2h\alpha {\sqrt {at}}\right)\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \right]e^{-\alpha ^{2}}d\alpha ,\\z''=&\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{0}^{\pi }f'\left(r\cos .\omega +2h'\alpha {\sqrt {at}}\right)d\omega \right.\\&\left.+\int _{0}^{\pi }\operatorname {F} '\left(r\cos .\omega +2h'\alpha {\sqrt {at}}\right)\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \right]e^{-\alpha ^{2}}d\alpha \,;\end{aligned}}$

$f,\operatorname {F} ,f',\operatorname {F} ',$ désignant des fonctions arbitraires, $e$ la base des logarithmes népériens, $h$ et $h'$ étant ${\sqrt {\mp {\sqrt {-1}}}},$ c’est-à-dire,

$h={\frac {1-{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}},\qquad h'={\frac {1+{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}}.$

Mais pour donner à ces expressions une forme qui convienne