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$x$ désigne la distance d’un point quelconque $m$ du solide à sa première extrémité $o,$ $t$ est le temps écoulé à partir de l’état initial, $\mathrm {V} _{t}$ exprime la température du point $m$ après le temps $t\,;$ la distance de la seconde extrémité $\varpi$ à l’origine $o$ est représentée par le nombre $\varpi \,;$ les fonctions du temps $ft,\,\varphi t$ sont arbitraires, elles expriment respectivement les températures variables des deux extrémités $o$ et $\varpi$ du prisme. La troisième fonction arbitraire $\psi x$ qui affecte la distance variable $x$ d’un point intérieur à l’extrémité $o,$ représente le système des températures initiales.

On doit donner au nombre entier $i$ sous le signe $\sum$ toutes les valeurs possibles depuis et y compris $1,$ il faut prendre la somme de ces valeurs. Le signe d’intégration définie $\int$ porte, suivant notre usage, les limites entre lesquelles l’intégrale doit être effectuée ; $r$ est une quantité auxiliaire qui disparaît après l’’intégration définie, en sorte qu’il ne reste dans l’expression de $\mathrm {V} _{t}$ que des quantités connues.

(2)

La solution a trois parties distinctes.

La valeur $\mathrm {V} _{t}$ donnée par l’équation (1), contient trois parties différentes. Si dans la première, qui forme la première ligne, on écrit $\varpi -x$ au lieu de $x,$ et $\varphi$ au lieu de $f,$ on trouve la seconde partie. On verra par la suite que la première représente l’état où le solide parviendrait après le temps écoulé $t,$ si toutes les températures initiales des points dont la distance à l’origine $o$ est plus grande que zéro et moindre que $\varpi$ étant supposées nulles, on assujétissait pen-