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l’état du solide à la fin du temps $\theta ,$ sera exprimé ainsi

(13)

$\mathrm {V} _{\theta }={\frac {bx}{\varpi }}-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}\theta }\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha )\left({\frac {b\alpha }{\varpi }}-\operatorname {F} \alpha \right),$

cette solution résulte évidemment des principes connus. L’état final et invariable dont le système s’approche continuellement est ${\frac {bx}{\varpi }},$ et la différence entre ce dernier état et le premier $\varphi x$ diminue continuellement et finit par s’évanouir. Cette altération progressive de l’état initial représenté par ${\frac {bx}{\varpi }}-\operatorname {F} x$ s’opère suivant la loi que l’on observerait, si dans un prisme dont les températures initiales sont données on assujétissait chacune des extrémités à la température fixe zéro.

Nous supposerons maintenant dans tout ce qui suit que les températures initiales des points du prisme qui ont été désignées dans l’équation (13) par la fonction $\operatorname {F}$ sont nulles et que les extrémités $o$ et $\varpi$ sont retenues pendant le temps $\theta$ à des températures fixes savoir, zéro au point $o,$ et $b$ au point $\varpi ,$ on omettra donc dans l’èquation (13) le terme $\operatorname {F} \alpha ,$ et l’on trouvera

(14)

$\mathrm {V} _{\theta }={\frac {bx}{\varpi }}-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t}\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha ){\frac {b\alpha }{\varpi }},$

et si l’on effectue l’intégration $\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha ){\frac {b\alpha }{\varpi }},$ afin de développer sous le signe $\sum ,$ on a

(15)

$\mathrm {V} _{\theta }={\frac {bx}{\varpi }}-{\frac {2b}{\varpi }}\left(e^{-\theta }\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}\theta }\sin .2x+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}\theta }\sin .3x-{\text{etc}}.\right)\,;$