on appliquera cette équation (15) au cas où le temps écoulé est désigné par
et la température fixe du point
par
et l’on aura
(16)
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![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{1}}\sin .3x-{\text{etc}}.\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e241865170f458d80a5590588dd6bacb2e659e8)
On considère maintenant l’état exprimé par
comme un état initial donné, et l’on assujétit pendant le temps
les deux extrémités
et
aux températures respectives
et
il est facile de connaître l’état qui sera formé à la fin du temps total
Il faut dans la formule précédente (13) écrire
au lieu de
au lieu de
et remplacer la fonction
qui se rapporte à l’état initial par la fonction que l’on trouve en écrivant dans
au lieu de
la quantité auxiliaire
On aura donc en désignant par
l’expression de l’état variable à la fin du temps total
(17)
![{\displaystyle \quad \mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}={\frac {b_{1}x}{\varpi }}+{\frac {b_{2}x}{\varpi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95690e971e0ccade31101ee102f09f0632cbc3d7)
![{\displaystyle -{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t_{2}}\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha )\left({\frac {b_{1}\alpha }{\varpi }}+{\frac {b_{2}\alpha }{\varpi }}-\mathrm {W} \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82421bb9348ad04a50ba56430d9d01a0a5b3834c)
et il faut mettre pour
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {b_{1}\alpha }{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-t_{1}}\sin .\alpha -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}t_{1}}\sin .2\alpha +{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{1}}\sin .3\alpha -{\text{etc}}.\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2284e12d78c2bae961f602fdfaa4576cab60d6b1)
il en résulte premièrement qu’une partie de la valeur cherchée de
est
![{\displaystyle {\frac {b_{1}x}{\varpi }}-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t_{2}}\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha ){\frac {b_{2}\alpha }{\varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5981f4770119c46809dc384298a3e216db27362)
Cette partie exprime d’après l’équation (14), l’état où serait