ADDITION AU MÉMOIRE
Sur l’équilibre et le mouvement des corps élastiques, inséré
dans ce volume ;
Par M. A. POISSON.
Lu à l’Académie, le 24 novembre 1828.
Je me propose dans cette addition d’intégrer complètement les équations aux différences partielles, relatives aux vibrations d’un corps élastique homogène. En supprimant les forces données
que renferment les équations (6) du no 16 de mon Mémoire, on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left(3{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+2{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+2{\frac {d^{2}w}{dxdz}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left(3{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+2{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+2{\frac {d^{2}w}{dydz}}+{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left(3{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+2{\frac {d^{2}u}{dxdz}}+2{\frac {d^{2}v}{dydz}}+{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dy^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af499c4a6d8417c59d9863965f7a743a890afa9)
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et c’est ce système de trois équations à quatre variables indépendantes
qu’il s’agit d’intégrer.
Si nous faisons
![{\displaystyle {\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb53c10fb6988081ae50c42e4566c2dbb9cf98a)
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