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ce qui fera disparaître $\left({\frac {dq}{dz}}\right)$ dans les expression précédentes de ${\frac {dq'}{d\eta }}$ et ${\frac {dq'}{d\eta '}},$ et réduira à

$\mathrm {T} ={\frac {dq}{dx}}a+{\frac {dq}{dy}}a',\qquad \mathrm {T} '={\frac {dq}{dx}}b+{\frac {dq}{dy}}b',\qquad (10)$

celles des forces tangentielles $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '.$

(18) Nous pouvons remplacer les trois forces $\mathrm {V,T,T} ',$ dont les directions varient avec le point $\mathrm {M} ,$ par d’autres qui répondent à des directions fixes et indépendantes de la position de ce point. Pour cela, supposons qu’on ait d’abord pris la résultante de $\mathrm {V,T,T} ',$ et qu’on la décompose ensuite suivant les axes des $x,y,z.$ Soient $\mathrm {X_{1},Y_{1},Z_{1}} ,$ ses trois nouvelles composantes ;. nous aurons

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} _{1}&=\mathrm {T} a&&+\mathrm {T} 'b&&+\mathrm {V} c,\\\mathrm {Y} _{1}&=\mathrm {T} a'&&+\mathrm {T} 'b'&&+\mathrm {V} c',\\\mathrm {Z} _{1}&=\mathrm {T} a''&&+\mathrm {T} 'b''&&+\mathrm {V} c''.\end{alignedat}}$

Je substitue dans ces formules les valeurs de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} ',$ données par les équations (10), et celles de $c,c',c''\,;$ j’observe que l’on a

${\begin{alignedat}{4}&a^{2}&&+b^{2}&&=1-c^{2}&&={\frac {1}{v^{2}}}\left(1+{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}\right),\\&a'^{2}&&+b'^{2}&&=1-c'^{2}&&={\frac {1}{v^{2}}}\left(1+{\frac {dz^{2}}{dy^{2}}}\right),\\&a''^{2}&&+b''^{2}&&=1-c''^{2}&&={\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dy^{2}}}\right),\\&aa'&&+bb'&&=-cc'&&=-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dx}}{\frac {dz}{dy}},\\&aa''&&+bb''&&=-cc''&&={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dx}},\\&a'a''&&+b'b''&&=-c'c''&&={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dy}}\,;\end{alignedat}}$