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(19) Pour fixer les idées, nous supposerons que l’axe des $z$ soit vertical et dirigé de bas en haut, et que $\mathrm {A}$ soit situé en entier au-dessus du plan des $x,y\,;$ nous supposerons aussi, comme dans le n^o 10, que chaque perpendiculaire à ce plan ne rencontre qu’en deux points la surface de $\mathrm {A} \,;$ et comme les formules (11) sont évidemment indépendantes du signe de $v,$ nous conviendrons de prendre ce radical avec le signe $+$ dans toute l’étendue de cette surface.

Cela posé, circonscrivons à cette même surface, un cylindre vectical qui la touchera suivant une certaine courbe, et la divisera en deux parties, l’une inférieure et l’autre supérieure. Dans toute la première partie, la normale intérieure fera un angle aigu avec l’axe des $z$ ; et puisque $v$ est une quantité positive, on aura

$c=-{\frac {1}{v}}{\frac {dz}{dx}},\qquad c'=-{\frac {1}{v}}{\frac {dz}{dy}},\qquad c''={\frac {1}{v}}\,;$

les angles dont $c,c',c'',$ sont les cosinus répondant à cette partie de la normale. Dans toute la partie supérieure, ce sera la normale extérieure qui fera un angle aigu avec l’axe des $z$ ; et en appelant $c_{1},c'_{1},c''_{1},$ les cosinus des angles qui s’y rapportent, on aura aussi, à cause de $v$ positif,

$c_{1}=-{\frac {1}{v}}{\frac {dz}{dx}},\qquad c'_{1}=-{\frac {1}{v}}{\frac {dz}{dy}},\qquad c''_{1}={\frac {1}{v}}.$

Enfin si l’on désigne par $ds,$ l’élément différentiel de la surface de $\mathrm {A} ,$ qui doit être positif, ainsi que sa projection horizontale $dxdy,$ on aura

$ds=v\,dx\,dy,$

dans toute l’étendue de cette surface, toujours à cause de $v$ positif.