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Multiplions les équations (11) par $ds,$ puis intégrons dans toute cette étendue ; nous aurons, d’après les formules précédentes,

$\int \mathrm {X} _{1}ds=\iint \left\{{\frac {d.{\frac {q}{c''}}\left(c'^{2}+c''^{2}\right)}{dx}}-{\frac {d.{\frac {qcc'}{c''}}}{dy}}\right\}dxdy$

$+\iint \left\{{\frac {d.{\frac {q}{c''_{1}}}\left(c_{1}^{'2}+c_{1}^{''2}\right)}{dx}}-{\frac {d.{\frac {qc_{1}c'_{1}}{c''_{1}}}}{dy}}\right\}dxdy,$

$\int \mathrm {Y} _{1}ds=\iint \left\{{\frac {d.{\frac {q}{c''}}\left(c^{2}+c''^{2}\right)}{dy}}-{\frac {d.{\frac {qcc'}{c''}}}{dx}}\right\}dxdy$

$+\iint \left\{{\frac {d.{\frac {q}{c''_{1}}}\left(c_{1}^{2}+c_{1}^{''2}\right)}{dy}}-{\frac {d.{\frac {qc_{1}c'_{1}}{c''_{1}}}}{dx}}\right\}dxdy,$

$\int \mathrm {Z} _{1}ds=\iint \left({\frac {d.qc}{dx}}+{\frac {d.qc'}{dy}}\right)dxdy+\iint \left({\frac {d.qc_{1}}{dx}}+{\frac {d.qc'_{1}}{dy}}\right)dxdy\,;$

les premières intégrales doubles de chacune de ces expressions, répondant à la surface inférieure de $\mathrm {A} ,$ et les secondes, à la surface supérieure. Les unes et les autres auront donc pour limite commune, la courbe de contact de $\mathrm {A}$ et du cylindre vertical circonscrit ; en sorte qu’elles doivent être étendues aux valeurs de $x$ et $y,$ relatives à tous les points de la base de ce cylindre sur le plan horizontal de ces coordonnées.

Nous supposerons que chaque droite horizontale, aussi bien que chaque verticale, ne rencontre qu’en deux points la surface de $\mathrm {A} \,;$ il en résultera que chaque droite menée dans l’intérieur de la base du cylindre, parallèlement à l’axe des $x$ ou des $y,$ ne coupera aussi son contour qu’en deux