Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/306

$u=0$ jusqu’à $u=\infty ,$ en faisant croître cette variable par des différences égales à $\varepsilon .$

Si l’on désigne par $\mathrm {U}$ ce que devient $\mathrm {U} '$ quand on y met $u$ à la place de $u',$ et si l’on observe que

${\frac {u}{\varepsilon }}{\frac {d\varepsilon }{dx}}={\frac {du}{dx}},\qquad {\frac {u}{\varepsilon }}{\frac {d\varepsilon }{dy}}={\frac {du}{dy}},$

on en conclura

$\mathrm {U'=U} +{\frac {u}{2}}{\frac {d\mathrm {U} }{du}}\left({\frac {du}{dx}}\cos .\psi +{\frac {du}{dy}}\sin .\psi \right),$

et la variable $r,$ contenue dans $\mathrm {U} ,$ sera donnée par l’équation

$r^{2}=u^{2}+(s-s')^{2}.$

À cause que la compression varie très-rapidement dans le sens de l’épaisseur de $\mathrm {A} ,$ $\varpi$ et $\varpi '$ sont respectivement des fonctions de $s$ et $s'$ qui ne peuvent pas se développer par rapport à ces variables ; mais $\varpi '$ est aussi une fonction de $x+\eta$ et $y+\eta ',$ développable en série convergente suivant les puissances de $\eta$ et $\eta ',$ et qu’on peut changer en

$\varpi '+{\frac {d\varpi '}{dx}}\eta +{\frac {d\varpi '}{dy}}\eta ',$

$\varpi '$ étant actuellement ce que devient $\varpi$ quand on y met $s'$ au lieu de $s.$ Dans les sommations relatives à $s',$ on devra faire croître $s'$ des différences variables et représentées par $\varpi '\,;$ pour tenir compte de ce changement de $\varpi ',$ il faudra donc remplacer $s'$ par

$s'+{\frac {ds'}{dx}}\eta +{\frac {ds'}{dy}}\eta '.$

Donc, en ayant égard aux changements de $\varepsilon ',\varpi ',s',$ prove-