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férence $1-\mathrm {Z}$ est assez petite pour qu’on la néglige, la probabilité totale $\mathrm {T}$ de l’événement $\mathrm {C} ',$ coïncidera avec $\mathrm {Q} ,$ ce qui en simplifiera le calcul. Ce cas aura lieu dans les diverses applications que nous allons faire des formules précédentes.

(14) Si l’événement observé $\mathrm {C}$ consiste en ce que, sur un nombre $m$ d’épreuves, $\mathrm {A}$ est arrivé un nombre $s$ de fois, on aura, d’après la première équation du n^o 1,

$\mathrm {V} ={\frac {1.2.3\ldots m}{1.2.3\ldots s.1.2.3\ldots m-s}}v^{s}(1-v)^{m-s},$

et par conséquent,

$\mathrm {R} ={\frac {v^{s}(1-v)^{m-s}ds}{\int _{0}^{1}v^{s}(1-v)^{m-s}ds}},\qquad \mathrm {Z} ={\frac {\int _{a}^{b}v^{s}(1-v)^{m-s}ds}{\int _{0}^{1}v^{s}(1-v)^{m-s}ds}}.$

Appelons $g$ la valeur de $v$ qui rend un maximum, le coefficient de $dv$ sous le signe $\int ,$ et $\mathrm {G}$ la valeur correspondante de ce coefficient ; nous aurons

$g={\frac {s}{m}},\qquad \mathrm {G} =\left({\frac {s}{m}}\right)^{s}\left({\frac {m-s}{m}}\right)^{m-s}.$

Faisons ensuite

$v^{s}(1-v)^{m-s}=\mathrm {G} e^{-t^{2}}\,;$

$t$ étant une nouvelle variable, dont les valeurs $t=-\infty ,$ $t=0,$ $t=\infty ,$ répondront à $v=0,$ $v=g,$ $v=1.$ En prenant les logarithmes des deux membres de cette équation, on en déduira ensuite pour $v,$ une valeur en série de la forme :

$v=g+g't+g''t^{2}+g'''t^{3}+{\text{etc}}.,$

$g',g'',''',$ etc., étant des coefficients indépendants de $t,$