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dont les valeurs se détermineront par la substitution de cette série dans l’équation logarithmique, et par la comparaison des termes semblables dans les deux membres. Nous supposerons que $s$ et $m-s,$ sont de très-grands nombres, comparables à leur somme $m\,;$ et alors ces coefficients $g',g'',g''',$ etc., formeront une série très-rapidement décroissante, dont les termes seront de l’ordre des fractions ${\frac {1}{\sqrt {m}}},{\frac {1}{m}},{\frac {1}{m{\sqrt {m}}}},$ etc. Les deux premiers auront pour valeurs :

$g'={\sqrt {\frac {2(m-s)s}{m^{3}}}},\qquad g''={\frac {2(m-2s)}{3m^{2}}}\,;$

ce qui donne pour leur rapport :

${\frac {g''}{g'}}={\frac {2(m-2s)}{3{\sqrt {2ms(m-s)}}}}.$

Au moyen de cette transformation et en négligeant les quantités de l’ordre de ${\frac {1}{m}},$ on aura

$\int _{0}^{1}v^{s}(1-v)^{m-s}dv=\mathrm {G} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dv}{dt}}dt=\mathrm {G} g'{\sqrt {\pi }}.$

Désignons par $z$ une quantité positive qui ne soit pas trèsgrande, et prenons

$a=g-g'z,\qquad b=g+g'z,$

pour les limites de l’intégrale qui forme le numérateur de $\mathrm {Z} \,;$ faisons ensuite

$v=g+g'\theta ,\qquad dv'=g'd\theta \,;$

les valeurs correspondantes de $\theta$ seront $\pm z\,;$ et comme on aura

$t=\theta -{\frac {g''}{g'}}\theta ^{2},\qquad e^{-t^{2}}=e^{-\theta ^{2}}\left(1+{\frac {2g''\theta ^{3}}{g'}}\right),$