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$m=122404,\qquad s=62239\,;$

d’où il résulte, d’après l’équation (c),

${\begin{aligned}p=&0{,}50847+\theta (0{,}002021),\\q=&0{,}49153-\theta (0{,}002021),\end{aligned}}$

et, en vertu de l’équation (e)

$\mathrm {Q} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-3}^{3}\Pi e^{-\theta ^{2}}\left[1-\theta ^{3}(0{,}000092)\right]d\theta ,$

en prenant toujours $\pm 3$ pour les limites de la variable $\theta .$ Je prendrai, en outre

$n=10000,$

pour le nombre moyen des naissances hors de mariage qui ont lieu chaque année à Paris ; au moyen des équations (11) et de ces valeurs de $p,q,n,$ je formerai l’expression de $\mathrm {X}$ que je substituerai ensuite dans la formule précédente à la place de $\Pi \,:$ la valeur de $\mathrm {Q}$ sera la probabilité demandée.

Si nous faisons

$0{,}00847+\theta (0{,}002021)={\frac {1}{2}}\alpha \,;$

nous aurons

$p={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\alpha ,\qquad q={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\alpha \,;$

et parce qu’on néglige les quantités de l’ordre de ${\frac {1}{n}},$ la seconde équation (11) deviendra

$k^{2}=-{\frac {n+1}{2}}\log .\left(1-\alpha ^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\log .{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}.$

Si l’on néglige aussi le cube de $\alpha$ et le produit $n\alpha ^{4},$ on aura