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au lieu de $t$ et $dt,$ ce qui donne

$\int _{0}^{z}\left(\int _{\mu \theta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\theta ^{3}d\theta =\mu \int _{1}^{\infty }\left(\int _{0}^{z}e^{-\theta ^{2}\left(1+\mu ^{2}\right)}\theta ^{4}d\theta \right)dt,$

en intervertissant l’ordre des intégrations. À cause de la grandeur que $z$ doit avoir, on peut, sans erreur sensible, étendre jusqu’à l’infini les intégrales relatives à $\theta ,$ ce qui permet d’en obtenir les valeurs, et d’où il résulte

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}-{\frac {\lambda }{\sqrt {\pi }}}+{\frac {\lambda '}{\sqrt {\pi \left(1+\mu ^{2}\right)}}}+{\frac {\mu ^{2}\lambda '}{2{\sqrt {\pi }}\left(1+\mu ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {3\mu \lambda }{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{\left(1+\mu ^{2}t^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}},$

ou bien, en effectuant l’intégration indiquée,

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}+{\frac {\lambda '-\mu \lambda }{\sqrt {\pi \left(1+\mu ^{2}\right)}}}+{\frac {\mu ^{2}\lambda '-\mu \lambda }{2{\sqrt {\pi }}\left(1+\mu ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

(n)

Cette valeur de $\mathrm {T}$ exprime la probabilité que la différence $p'-p$ surpasse la différence ${\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}},$ ou qu’on a

$p'-p>{\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}}.$

L’événement contraire est

$p'-p<{\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}},\quad {\text{ou}}\quad p-p'>{\frac {s}{m}}-{\frac {s'}{m'}}.$

Sa probabilité se déduira donc de la même expression de $\mathrm {T} ,$ en y échangeant $m'$ et $m,$ $s'$ et $s,$ c’est-à-dire, en échangeant $\lambda '$ et $\lambda ,$ et mettant ${\frac {1}{\mu }}$ à la place de $\mu .$ Ainsi, en la désignant par $\mathrm {T} ',$ on aura

$\mathrm {T} '={\frac {1}{2}}+{\frac {\mu \lambda -\lambda '}{\sqrt {\pi \left(1+\mu ^{2}\right)}}}+{\frac {\mu \lambda -\mu ^{2}\lambda '}{2{\sqrt {\pi }}\left(1+\mu ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$