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$p'-p>\alpha f+{\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}}.$

Mettons à la place de $\alpha ,$ une autre quantité $\alpha '\,;$ échangeons entre elles les lettres $s'$ et $s,$ $m'$ et $m\,;$ faisons

$\beta '={\frac {\alpha 'f}{\sqrt {f^{2}+f'^{2}}}}\,;$

et désignons par $\mathrm {T} '$ ce que $\mathrm {T}$ devient par ces changements : il en résultera

$\mathrm {T} '={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\beta '}e^{-t^{2}}dt,$

pour la probabilité qu’on a

$p-p'>\alpha 'f'+{\frac {s}{m}}-{\frac {s'}{m'}}.$

Si l’on suppose $\alpha 'f'=-\alpha f,$ cet événement sera le contraire du précédent, et la somme de leurs probabilités devra être l’unité. C’est ce qui a lieu effectivement ; car on a alors

$\beta '=-\beta ,\qquad \int _{0}^{\beta '}e^{-t^{2}}dt=-\int _{0}^{\beta }e^{-t^{2}}dt,$

et par conséquent $\mathrm {T+T} '=1.$

Je substitue la valeur de $\alpha$ dans celle de $\beta \,;$ il vient

$\beta ={\frac {{\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}}-\omega }{\sqrt {f^{2}+f'^{2}}}}.$

(p)

Dans le cas de $\omega =0,$ $\mathrm {T}$ sera la probabilité que $p'$ surpasse $p\,;$ or, il est facile de s’assurer que la formule (o) coïncide alors avec celle que Laplace a donnée pour le même objet^[1]. On

1. Théorie analytique des probabilités, page 383.