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ou, en divisant tous les termes par les facteurs égaux $p\omega udt,$ $\mathrm {P'\Omega '} Udt,$

$-k\int {\frac {dp}{p}}=\int {\frac {\chi }{\omega }}dx.\beta u^{2}+\int udu+{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2}}\left({\frac {\mathrm {P} '\Omega '}{\mathrm {B} m\omega }}-{\frac {\mathrm {P} '\Omega '}{\mathrm {B} '\omega }}\right)^{2}.$

(42)

L’intégrale $-\int {\frac {dp}{p}}$ doit être prise entre les sections extrêmes $\mathrm {AB,CD} ,$ et sa valeur est $\log .\mathrm {\frac {P}{P'}} .$ L’intégrale $\int udu$ doit aussi être prise entre les mêmes limites, et sa valeur est $\mathrm {{\frac {U^{2}}{2}}\left(1-{\frac {P'^{2}\Omega '^{2}}{P^{2}\Omega ^{2}}}\right)} .$ Quant à l’intégrale $\int {\frac {\chi }{\omega }}dx.\beta u^{2},$ qui revient à

$\int {\frac {\chi }{\omega }}dx.\beta {\frac {\mathrm {P'^{2}\Omega '^{2}U^{2}} }{p^{2}\omega ^{2}}},$

et qui doit être prise dans toute l’étendue du tuyau, c’està-dire, depuis $x=0$ jusqu’à $x=\lambda ,$ on peut regarder sous le signe $\int$ les quantités $\omega$ et $\chi$ comme constantes, mais non pas la pression $p,$ qui varie, entre les sections $\mathrm {GH}$ et $\mathrm {IK} ,$ de la valeur $\mathrm {B} '$ à la valeur $\mathrm {P} _{1}.$ On ne connaît pas exactement la loi de cette variation ; mais il est visible l’on que ne peut commettre qu’une faible erreur en la supposant donnée par l’équation (41), qui a été obtenue dans la supposition où le vase se réduirait à un tuyau cylindrique, aux deux extrémités duquel étaient maintenues deux pressions données. Nous supposerons donc dans l’intégrale dont il s’agit $p={\sqrt {\mathrm {B'^{2}-\left(B'^{2}-P_{1}^{2}\right)} {\frac {x}{\lambda }}}},$ ce qui la changera en

$\int {\frac {\chi }{\omega }}.{\frac {dx}{\mathrm {B'^{2}-\left(B'^{2}-P_{1}^{2}\right)} {\frac {x}{\lambda }}}}.{\frac {\mathrm {\beta P'^{2}\Omega '^{2}U^{2}} }{\omega ^{2}}},$

dont la valeur, entre les limites indiquées ci-dessus, est