Voici maintenant une image qui, je pense, va nous guider au cœur même du problème de la gravitation et jusqu’à sa solution.
Considérons une surface à courbure variable, par exemple, la surface d’un coin de la France avec ses collines, ses montagnes, ses vallonnements. En parcourant ce pays en tous sens, nous pourrons aller en ligne droite tant que nous sommes en plaine. La ligne droite en plaine unie a ceci de remarquable qu’elle est le chemin le plus court entre deux points. Elle a aussi ceci de particulier qu’elle est, entre ces deux points, seule de son espèce et ayant sa longueur, tandis que l’on peut tracer un très grand nombre de lignes non droites réunissant aussi ces deux points, plus longue que la ligne droite mais toutes d’égale longueur.
Mais nous voici arrivés dans la région des collines. Il nous est maintenant impossible pour passer d’un point à un autre, séparés par une colline, de marcher suivant une ligne droite. Comme que nous fassions, notre trajet sera courbe. Mais parmi les divers chemins possibles qui nous mènent d’un point à l’autre par dessus la colline, il en est un, et un seul en général, qui est plus court que tous les autres, ainsi que nous pouvons le constater avec un cordeau. Ce chemin le plus court, seul de son espèce, est ce qu’on appelle la géodésique de la surface traversée.
