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119.                    $\mathrm {Cls} =a\$$\varepsilon$$\ [x\$$\varepsilon$$\ (x\,\varepsilon \,a)=a]$(V)

c’est-à-dire : « $\mathrm {Cls}$ » est « tout symbole a tel que, l’ensemble des valeurs de x, telles que x soit un a, est a ». Cette $\mathrm {P}$ définit le symbole « $\mathrm {Cls}$ » par le symbole « $\varepsilon$ », qui a été déjà défini (III)^[1].

131. Par le symbole « $\iota$ », qui a été déjà défini (II), je définis le symbole
« $\iota$ » [45], au moyen de la P

120.                    $a=\iota \,x\,.\,\supset \,.\,$$\iota$$\,a=x$(VI)^[2]

1. L’analyse qui précède cette $\mathrm {P}$ a seulement pour but d’indiquer la voie par laquelle j’y suis arrivé et d’y distinguer ce qu’elle renferme de connu et ce qu’elle contient de nouveau [$\mathrm {P}$ 116] ; mais, en voulant l’adopter comme Df, elle n’a besoin d’aucune prémisse.
   xxxxPlutôt, le fait de donner une propriété quelconque à l’écriture « $x\,\varepsilon \,a$ » lorsque a n’est pas une $\mathrm {Cls}$, pourrait sembler en contradiction avec la $\mathrm {P}$ 6
   $x\,\varepsilon \,a\,.\,\supset \,.\,a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

   
   c’est-à-dire : « l’assertion qu’un x quelconque appartient à a implique que a soit une $\mathrm {Cls}$ ».
   xxxxMais il s’agit d’une contradiction apparente ; car, au contraire, si l’on regarde bien, cette $\mathrm {P}$ et la $\mathrm {P}$ 116 énoncent, de différente manière, un même fait (il suffit de comparer leurs lectures).

2. Dans le Formulaire on définit le symbole « $\iota$ » au moyen de la P
   $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,\exists \,a:y,\,z\,\varepsilon \,a\,.\,\supset \,.\,y=z\,\therefore \,\supset \,\therefore \,x=\,$$\iota$$\ a\,.\,=\,.\,a=\iota \,x$(1)
   
   c’est-à-dire :
   si   1) a est une $\mathrm {Cls}$.
   2) il y a des a
   3) si y et z appartiennent à a, alors y doit être égal à z ;
   alors, dire que « x est le a » signifie que a est l’ensemble auquel n’appartient que x ».
   xxxxCe qui était le définissant dans la (1) devient la seule $\mathrm {Hp}$ de ma Df (VI), parce qu’elle renferme, d’une manière implicite, les trois conditions dont se compose l’$\mathrm {Hp}$ de la (1).
   xxxxEn effet comme « $\iota \,x\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [$\mathrm {P}$ 64], « $a=\iota \,x$ » implique [$\mathrm {P}$ 58] :
   1) « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » ; après quoi [$\mathrm {P}$ 53], « $a=\iota \,x$r » implique
   « $a\supset \iota \,x$ »et« $\iota \,x\supset a$ » ;

   
   mais « $\iota \,x\supset a$ » implique (III) « $x\,\varepsilon \,a$ », qui implique [$\mathrm {P}$ 63] :
   2) « $\exists \,a$ » ; enfin « $a\supset \iota \,x$ » implique que [$\mathrm {P}$ 56] si « $y\,\varepsilon \,a$ », alors « $y\,\varepsilon \,\iota \,x$ », c’est-à-dire [$\mathrm {P}$ 60] que « $y=x$ » ; donc

   $y\,\varepsilon \,a\,.\,\supset \,.\,y=x$

   
   et de même

   $z\,\varepsilon \,a\,.\,\supset \,.\,z=x$

   
   d’où [$\mathrm {P}$ 91 et IV]

   $y,\,z\,\varepsilon \,a\,:\,\supset \,:\,y=x\,.\,z=x$

   
   d’où [$\mathrm {P}$ 44, 46] :

   3) $y,\,z\,\varepsilon \,a\,.\,\supset \,.\,y=z$

   J’ai donc obtenu une vraie simplification de la (1), sans rien lui ajouter ou lui ôter, et j’ai obtenu deux avantages dans la (1) la formule définie était
   « $x=\$$\iota$ $\ a$ », tandis que dans la Df VI elle est simplement « $\iota$ $\ a$ » (qui contient seulement le symbole à définir) ; dans l’$\mathrm {Hp}$ de la (1) était employé le symbole « $\exists$ » que je