Page:Padoa - La Logique déductive dans sa dernière phase de développement.djvu/52

56. On pourrait faire l’objection que peut-être l’analogie entre les inclusions et les implications n’est pas toujours si saisissante qu’elle paraît en comparant les formules (12), (13) et en particulier les $\mathrm {P}$ (11), (14) ; parce que, en ces cas, cette analogie semble dépendre de la forme particulière des conditions considérées.

En effet, comment pourrait-on se tirer d’affaire si l’$\mathrm {Hp}$ et la $\mathrm {Ts}$ d’une implication n’étaient pas deux appartenances par rapport au même individu variable ?

L’objection n’a aucune valeur ; car, ainsi que nous le verrons [60], chaque condition par rapport a $x$ [52], quelle qu’en soit la forme, peut se changer en une appartenance entre $x$ et une $\mathrm {Cls}$ déterminée.

Ponctuation

57. Pour séparer les parties d’une formule, Leibniz et Newton employèrent des barres horizontales (qu’on appelait vinculum) placées au-dessous ou au-dessus de chaque partie ; on emploie encore ces barres dans l’écriture des fractions et des racines des nombres.

Jacques Bernoulli (1654-1705) et son frère Jean (1667-1748), qui furent les premiers disciples de Leibniz, introduisirent et répandirent l’emploi des parenthèses, qui ensuite furent universellement adoptées dans les formules de l’Arithmétique et de l’Algèbre, pour marquer l’ordre selon lequel les opérations indiquées doivent être exécutées, et dont nous faisons le même usage dans les formules analogues.

Mais, dans les autres cas, nous préférons les points isolés « . » ou groupés « : », « $.^{\,\cdot }.$ », etc., dont Leibniz avait fait le même usage dans quelques-uns de ses manuscrits.

Les parenthèses et les points forment la ponctuation logique, qui remplit le même rôle que les pauses dans le discours et que la ponctuation grammaticale dans l’écriture commune ; mais elle le remplit avec une précision et une évidence sans exceptions, qui permet justement de se passer complètement des flexions [25].

« Et cum dico A est B, et A et B sont propositiones, intelligo ex A sequi B ». Le signe « $\subset$ » avait été employé par Gergonne, mais seulement pour les inclusions (a. 1816), et par Abel (1802-1829), mais seulement pour les implications. C’est justement pour lui donner le double rôle que M. Peano a préféré, même pour les inclusions, le signe $\subset$ en abandonnant le signe $\supset$ [31].