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Nous avons déjà remarqué [27] que, les $\mathrm {Cls}$ a et b étant données, si
« a contient b » au point de vue extensif,
alors
« b contient a » au point de vue compréhensif ;
et réciproquement.

Donc, dans le passage d’un langage à l’autre (de l’extension et de la compréhension) la formule « $a\supset b$ » devient « $b\supset a$ », c’est-à-dire qu’elle est assujettie à la transformation corrélative [111]. Admettons pour un moment (ce qui n’est pas vrai^[1]) que cela arrive sans exception pour toute formule composée moyennant les symboles considérés [110] ; quelle conséquence pourra-t-on en tirer ?

Ce ne sera pas la loi de dualité, mais la dualité entre les deux langages dont je viens de parler ; au sens que, si par exemple $\alpha$ est une $\mathrm {P}$ du type considéré [110] qui soit vraie dans un des deux langages, la $\mathrm {P}$ $\beta$ qu’on obtient en assujettissant $\alpha$ à la transformation corrélative devra être vraie dans l’autre langage ; de manière que $\alpha$ et $\beta$ exprimeraient un même fait par deux langages différents !

Or la loi de dualité, dont nous avons vu de nombreuses applications, [112, 113] dit tout autre chose : et précisément que, si $\alpha$ est vraie dans un des deux langages (pour nous celui l’extension [27]), $\beta$ aussi est vraie dans le même langage ; de manière que (sauf le cas des $\mathrm {P}$ auto-corrélatives [114]) $\alpha$ et $\beta$ expriment dans le même langage deux faits différents !

117. Il faut donc démontrer la loi de dualité moyennant l’analyse des symboles dont il s’agit [110], en les considérant toujours au même point de vue (par exemple celui de l’extension, ainsi que nous l’avons fait jusqu’à présent)^[2].

Soit $\alpha$ une $\mathrm {P}$ du type considéré [110].

Pour compliquée qu’elle soit, au moyen des substitutions litté-

1. Je me propose de justifier ailleurs cette assertion, qui est contraire à l’opinion commune ; ici il n’est pas nécessaire de le faire, parce que ce n’est pas sur elle que s’appuie ma réfutation.
2. Ma première démonstration de la loi de dualité, que j’avais donnée à ce point de la leçon, présupposait plusieurs notions de Méthodologie, dont j’avais dû anticiper concisément l’exposé. Maintenant, pour suivre un ordre plus systématique, je préfère en différer la publication (voir la note en tête de cet ouvrage) et la remplacer ici par une autre démonstration dont l’idée, un peu vague, m’a été suggérée, dans une conversation, par le prof. E. E. Levi, de l’Université de Gênes.