Page:Padoa - La Logique déductive dans sa dernière phase de développement.djvu/96

— 90 —

$a\supset b\,.\,=\,.\,x$ $\varepsilon$ $(a\,\lnot b)=\wedge$
$b\supset a\,.\,=\,.\,x$ $\varepsilon$ $(a\smallsmile \lnot b)=\vee$

c’est-à-dire : « a implique b » signifie qu’il n’y a pas des valeurs de x qui vérifient a et ne vérifient pas b ;

« b implique a » signifie que toute valeur de x vérifie a ou ne vérifie pas b.

On peut simplifier l’écriture de la dernière $\mathrm {P}$ (toujours en supposant que a et b soient des conditions par rapport à une même variable), en l’écrivant ainsi :

$b\supset a\,.\,=\,.\,a\smallsmile \,\lnot b$

c’est-à-dire « b implique a » signifie qu’une au moins des conditions a et « $\lnot b$ » est vérifiée, quel que soit x.

C’est ainsi que, dès le commencement, nous avons précisé la signification de toute implication [54].

Principes d’identité, de contradiction et du tiers exclu

120. Les trois principes que je viens de nommer sont exprimés, dans le même ordre, par la $\mathrm {P}$ 41

$x=x$(I)

(dans laquelle x désigne un objet quelconque) et par les P
110.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\supset \,.\,a\smallfrown \,\lnot a=\wedge$(II)

111.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\supset \,.\,a\smallsmile \,\lnot a=\vee$(III)

Dans la (II), pour plus de clarté et pour mieux faire ressortir la comparaison avec la (III), j’ai écrit, entre a et « $\lnot a$ » le signe « $\smallfrown$ » que j’aurais pu sous entendre [$\mathrm {P}$ 29].

Dans les traités ordinaires de Logique, au principe d’identité on donne souvent la forme un peu vague « A est A », sans préciser si A désigne une $\mathrm {Cls}$ ou une condition ou un objet quelconque, ni la signification donnée au mot « est » ; par conséquent, on ne saurait décider si l’on entend parler des P

$a\,=\,a\quad (\mathrm {I^{\prime }} )\qquad \qquad x\,\varepsilon \,a\,.\,=\,.\,x\,\varepsilon \,a\quad \mathrm {(I^{\prime \prime })}$

dans lesquelles a est une $\mathrm {Cls}$, ou des $\mathrm {P}$ 41, 42, 43. Mais, sans doute, la $\mathrm {P}$ 41 mérite la préférence, parce qu’elle s’applique à tout objet ; et en effet les (I') (I") n’en sont que des cas particuliers.