Ceci admis, et absolument sans autre hypothèse, on peut prouver que le déplacement moyen d’un grain devient seulement double quand la durée du déplacement devient quadruple, seulement décuple quand cette durée devient centuple, et ainsi de suite. De façon plus précise, on prouve que le carré moyen du déplacement horizontal pendant une durée grandit seulement de façon proportionnelle à cette durée.
Il en est de même par suite pour la moitié de ce carré, c’est-à-dire pour le carré moyen de la projection du déplacement horizontal sur un axe horizontal arbitraire[1]. En d’autres termes, pour un grain donné (dans un fluide donné) le quotient est constant. Évidemment d’autant plus grand que le grain s’agite davantage, ce quotient, caractérise pour ce grain l’activité du mouvement brownien.
Il faut cependant prendre garde que ce résultat cesse d’être exact si ces durées deviennent tellement faibles que le mouvement du grain n’est plus parfaitement irrégulier. Et cela arrive forcément, sans quoi la vitesse vraie serait infinie. Le temps minimum d’irrégularité est probablement du même ordre que le temps qui serait nécessaire à un granule lancé dans le liquide avec une vitesse égale à sa vitesse moyenne vraie d’agitation, pour que le frottement par viscosité réduise sensiblement à zéro
- ↑ En projetant chaque déplacement sur deux axes horizontaux perpendiculaires l’un à l’autre, appliquant le théorème sur le carré de l’hypoténuse, et prenant la moyenne, on voit immédiatement que est égal à .
