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l’énergie

ne sont pas en repos relativement à la voie. Or, il n’y a aucune raison pour que la fusion d’un morceau de glace en mouvement par rapport à la voie ait la même valeur que la fusion du même morceau de glace au repos (ou, si on préfère, on ne reçoit peut-être pas la même énergie en arrêtant le morceau de glace ou l’eau qui provient de sa fusion). Du moins, ici encore, la direction du mouvement ne peut avoir d’importance, nos référentiels étant isotropes. Si $\mathrm {Q}$ est la valeur d’une calorie immobile, la valeur de cette calorie animée de la vitesse $v$ sera $\mathrm {Q} \varphi (v^{2})$. Cela nous donne pour valeur de l’arrêt des mobiles dans les wagons animés par rapport à la voie des vitesses $v$ et $-v$

$4f(v^{\,\prime \,2})\varphi (v^{2})$

Enfin, reste à arrêter par rapport à la voie les 2 mobiles maintenant au repos dans $\mathrm {R_{1}}$ et les 2 mobiles maintenant au repos dans $\mathrm {R_{2}}$. Ce qui pourra se faire au moyen de cordons actionnant simultanément les palettes d’un dispositif de Joule sans lui communiquer d’impulsion (par raison de symétrie) en y produisant le changement $-4f(v^{2})$. De sorte qu’au total on aura :

$4f(v^{2})\varphi (v^{2})+4f(v^{2})\equiv 4f(v^{\,\prime \prime \,2})$.

Bref, les fonctions $f$ et $\varphi$ devront vérifier l’identité

$f(v^{\,\prime \,2})\varphi (v^{2})\equiv f(v^{\,\prime \prime \,2})-f(v^{2})$.

(I)

(où $v^{\,\prime \prime }$ est la vitesse résultant de la composition des deux vitesses rectangulaires $v$ et $v^{\,\prime }$).

Discutons maintenant le cas (II), supposant les $v^{\,\prime }$ parallèles aux $v$. Ici encore nous pourrons utiliser deux processus différents : nous arrêterons simultanément, sur la voie, $a_{1}$ et $b_{2}$ par dispositif de Joule qui ne recevra pas d’impulsion, et de même simultanément $b_{1}$ et $a_{2}$ ; ou bien nous arrêterons d’abord chaque couple dans le wagon correspondant, puis nous arrêterons sur la voie les 4 mobiles maintenant animés des vitesses $v$ ou $-v$. Raisonnant comme dans le cas (I), nous obtiendrons ainsi l’équation fonctionnelle :

$2f(v_{1}^{\,\prime \,2})+2f(v_{2}^{\,\prime \,2})\equiv 4f(v^{\,\prime \,2})\varphi (v^{2})+4f(v^{2})$

ou

$2f(v^{\,\prime \,2})\varphi (v^{2})\equiv f(v_{1}^{\,\prime \,2})+f(v_{2}^{\,\prime \,2})-2f(v^{2})$.

(II)