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Soit $T$ la durée de l’émission ; quelle sera la longueur réellement occupée par la perturbation dans l’espace?

La tête de la perturbation est partie au temps 0 du point 0 et elle se trouve au temps $t$ au point $Vt$ ; la queue est partie au temps $T$, non pas du point $0$, mais du point $v'T$, parce que l’excitateur d’où elle émane a marché pendant le temps $T$ avec une vitesse $v'$. Cette queue est donc à l’instant $t$ au point $v'T+V(t-T)$. La longueur réelle de la perturbation est donc

$L=Vt-\left|v'T+v(t-T)\right|=(V-v')T$.

Quelle est maintenant la longueur apparente? La tête est partie au temps local $0$ du point $O$ ; au temps local $t'$ son abscisse par rapport aux axes mobiles sera $Vt'$. La queue est partie au temps $T$ du point $v'T$ dont l’abscisse par rapport aux axes mobiles est $(v'-v)T$ ; le temps local correspondant est

$T\left(1-{\frac {vv'}{V^{2}}}\right)$.

Au temps local $t'$, elle est au point $x$, $x$ étant donné par les équations :

$t'=t-{\frac {vx}{V^{2}}},\quad x=v'T+V(t-T)$,

d’où, en négligeant $v^{2}$ :

$x=\left[v'T-V\left(t'-T\right)\right]\left(1+{\frac {v}{V}}\right)$.

L’abscisse de ce point par rapport aux axes mobiles sera

$x-vt'=\left(v'T-VT\right)\left(1+{\frac {v}{V}}\right)+Vt'$.

La longueur apparente de la perturbation sera donc

$L'=Vt'-(x-vt')=(V-v')T\left(1+{\frac {v}{V}}\right)=L\left(1+{\frac {v}{V}}\right)$.

L’énergie réelle totale (par unité de section) est donc

$\left({\frac {\gamma ^{2}}{8\pi }}+2\pi V^{2}g^{2}\right)L=4\pi V^{2}g^{2}L$,