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hypothèse de m. faye

Si nous appelons $\mathrm {H} _{0}$ la valeur de $\mathrm {H}$ pour $r=r_{0}$, l’équation

(5)

$\mathrm {H} _{0}=\mathrm {T}$

définit alors la distance aphélie $r_{0}$ et aussi la distance périhélie.

Dans le cas où l’attraction varie lentement avec le temps, nous pouvons continuer à dire que cette même équation (5) définit, à chaque instant $t$, la distance aphélie osculatrice, c’est-à-dire la distance aphélie de l’orbite que décrirait la planète si la loi d’attraction cessait de varier à cet instant $t$.

Cette définition semblera justifiée si l’on remarque qu’à l’instant où la distance $r$ passe par un maximum on a ${\frac {dr}{dt}}=0,$ et que par conséquent $\mathrm {H} =\mathrm {T} \,;$ à ce moment on a également $r=r_{0}$ et par conséquent $\mathrm {H} _{0}=\mathrm {T} .$

Ce qui caractérise un mouvement circulaire, c’est que la distance aphélie est égale à la distance périhélie, c’est-à-dire que l’équation

$\mathrm {H} =\mathrm {T}$

a une racine double $r$ ; cette racine double satisfait aussi à l’équation

${\frac {d\mathrm {H} }{dr}}=0.$

Inversement si la distance aphélie annule ${\frac {d\mathrm {H} }{dr}}$, l’équation précédente a une racine double et l’orbite est circulaire.

Supposons donc qu’à l’instant initial $t$ les deux équations

$\mathrm {H} =\mathrm {T}$

et

${\frac {d\mathrm {H} }{dr}}=0$

ont une racine commune $r$, rayon de l’orbite circulaire de la planète. Si, à une époque un peu ultérieure $t+dt$, l’orbite a cessé d’être circulaire, sa distance aphélie $r=r_{0}$ sera donnée par l’équation

$\mathrm {H} _{0}=\mathrm {T}$

Étudions les variations de $r_{0}$, et pour cela différentions la dernière équation par rapport à $t$. Nous obtenons

(6)

${\frac {d\mathrm {H} }{dr_{0}}}{\frac {dr_{0}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}={\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {d\mathrm {H} }{dt}}\cdot$