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hypothèses cosmogoniques
Dans le cas actuel les trois constantes
varient lentement
avec le temps, puisque l’ellipsoïde commence par s’aplatir. Nous
sommes donc en présence d’une question analogue à celle qui a été
étudiée au Chapitre précédent (no 64, p. 75). Si nous posons
![{\displaystyle \mathrm {H} (x,t)={\frac {\alpha ^{2}x^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066695b227acf2666c24af54aca94c881d44b428)
la première équation (1) s’écrit
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {H} }{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a73a6fd3d8d6c42a752e9cb65b18861d36fc578)
Si
ne dépendait pas de
cette équation multipliée par
et intégrée
donnerait l’équation des forces vives
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\mathrm {H} =\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9f47f22dfc01acbcd94b0b3410a6e915f806ce)
où
serait une constante. Ici, où
varie lentement avec
nous
posons cette même équation, qui servira de définition à
La dérivée
de
par rapport au temps est alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {d\mathrm {H} }{dt}}={\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d(\alpha ^{2})}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12d6ccf7296076ee4b12bbb123ac26c9edfcc40)
Pendant une oscillation
peut être regardé comme constant, et
a pour valeur moyenne
désignant l’élongation maxima ;
on a donc pour la valeur moyenne de
pendant une oscillation
(2)
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D’autre part,
s’annulant pour
la constante des forces
vives
a pour valeur
![{\displaystyle \mathrm {T} =\mathrm {H} _{0}={\frac {\alpha ^{2}x_{0}^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1b4bff5494343dd4508ff6c5db4e0d10384966)
d’où
(3)
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La comparaison des équations (2) et (3) donne
![{\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}{\frac {d(x_{0}^{2})}{dt}}+{\frac {x_{0}^{2}}{4}}{\frac {d(\alpha ^{2})}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae648cbaba1370731644acf153b9263c4b8be1a1)