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hypothèses cosmogoniques

Dans le cas actuel les trois constantes $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ varient lentement avec le temps, puisque l’ellipsoïde commence par s’aplatir. Nous sommes donc en présence d’une question analogue à celle qui a été étudiée au Chapitre précédent (n^o 64, p. 75). Si nous posons

$\mathrm {H} (x,t)={\frac {\alpha ^{2}x^{2}}{2}},$

la première équation (1) s’écrit

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {H} }{dx}}=0.$

Si $\mathrm {H}$ ne dépendait pas de $t,$ cette équation multipliée par ${\frac {dx}{dt}}$ et intégrée donnerait l’équation des forces vives

${\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\mathrm {H} =\mathrm {T} ,$

où $\mathrm {T}$ serait une constante. Ici, où $\mathrm {H}$ varie lentement avec $t,$ nous posons cette même équation, qui servira de définition à $\mathrm {T} .$ La dérivée de $\mathrm {T}$ par rapport au temps est alors

${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {d\mathrm {H} }{dt}}={\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d(\alpha ^{2})}{dt}}\cdot$

Pendant une oscillation ${\frac {d(\alpha ^{2})}{dt}}$ peut être regardé comme constant, et $x^{2}$ a pour valeur moyenne ${\frac {x_{0}^{2}}{2}},$ $x_{0}$ désignant l’élongation maxima ; on a donc pour la valeur moyenne de ${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}$ pendant une oscillation

(2)

${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {x_{0}^{2}}{4}}{\frac {d(\alpha ^{2})}{dt}}\cdot$

D’autre part, ${\frac {dx}{dt}}$ s’annulant pour $x=x_{0},$ la constante des forces vives $\mathrm {T}$ a pour valeur

$\mathrm {T} =\mathrm {H} _{0}={\frac {\alpha ^{2}x_{0}^{2}}{2}},$

d’où

(3)

${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}{\frac {d(x_{0}^{2})}{dt}}+{\frac {x_{0}^{2}}{2}}{\frac {d(\alpha ^{2})}{dt}}\cdot$

La comparaison des équations (2) et (3) donne

${\frac {\alpha ^{2}}{2}}{\frac {d(x_{0}^{2})}{dt}}+{\frac {x_{0}^{2}}{4}}{\frac {d(\alpha ^{2})}{dt}}=0,$