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hypothèses cosmogoniques

probabilité en question sera, par définition, proportionnelle à l’intégrale $2n$ uple

$\iint \dots \int \rho \,dq_{1}\,dq_{2}\,\dots \,dq_{n}\,dp_{1}\,dp_{2}\,\dots \,dp_{n}$

étendue à ce volume $v$.

Soit $\psi (q_{1},\,q_{2},\,\,\dots \,q_{n},\,p_{1},p_{2},\,\,\dots \,p_{n})$ une fonction quelconque. Sa valeur moyenne, à l’instant $t,$ pour les particules Π sera, par définition,

${\frac {1}{\mathrm {V} }}\iint \dots \int \rho \,\psi \,dq_{1}\,dq_{2}\,\dots \,dq_{n}\,dp_{1}\,dp_{2}\,\dots \,dp_{n},$

$\mathrm {V}$ désignant le volume total du vase dans l’espace à $2n$ dimensions et l’intégrale étant étendue à tout ce volume.

Au lieu de considérer simultanément les $m$ systèmes

(S₁), (S₂), …, (S_m),

on pourrait, si on le préférait, considérer seulement l’un d’entre eux, et le suivre dans son mouvement pendant un temps très long $\mathrm {T} ,$ entre les époques $t_{0}$ et $t_{0}+\mathrm {T} .$ La probabilité pour que ce système satisfasse à certaines conditions serait alors, par définition, le rapport à $\mathrm {T}$ du temps pendant lequel il a satisfait à ces conditions entre les époques $t_{0}$ et $t_{0}+\mathrm {T} .$ On définirait de même la valeur moyenne d’une fonction $\psi (q_{1},\,q_{2},\,\,\dots \,q_{n},\,p_{1},\,p_{2},\,\,\dots \,p_{n})$ comme étant la moyenne, pendant ce temps très long $\mathrm {T} ,$ des valeurs que donnent à $\psi$ les coordonnées de la particule Π représentative du système.

Le liquide fictif de l’espace à $2n$ dimensions va, en général, quelles que soient les conditions initiales, par suite des mouvements intérieurs définis par les équations (9), tendre vers un état limite permanent, comme il arrivait précédemment dans le cas simple de trois dimensions. Le raisonnement fait dans ce cas simple (p. 97) est évidemment général et nous permet de dire qu’une fois l’état permanent atteint, la densité $\rho$ des particules Π ne variera pas tout le long de la trajectoire d’une molécule quelconque.

Si donc une de ces trajectoires emplit le vase tout entier la distribution finale des densités $\rho$ sera

$\rho ={\text{const.}}$