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hypothèses cosmogoniques

Comme $\zeta$ est lui-même une fonction sphérique du second ordre par rapport aux coordonnées du même point A, on a

${\begin{aligned}\iint \zeta \mathrm {U} '_{0}\,d\sigma &=0,&\iint \zeta \mathrm {U} '_{1}\,d\sigma &=0.\end{aligned}}$

Nous avons donc simplement pour notre fonction perturbatrice

(17)

$\mathrm {W} =\iint \zeta \mathrm {U} '_{2}\,d\sigma .$

Développons $\mathrm {U} '_{2}$ sous forme trigonométrique de la même manière que nous avons développé $\mathrm {U} _{2}$ un peu plus haut : nous aurons

$\mathrm {U} '_{2}=\sum \mathrm {A} '\mathrm {X} '\,\cos(\alpha '\chi '+\beta 'l'+\gamma '\varpi '+h'),$

$\alpha ',\,\beta ',\,\gamma '$ étant trois entiers, $h'$ étant une constante égale à 0 ou à $\textstyle \pm {\frac {\pi }{2}},$ $\mathrm {A} '$ étant un coefficient numérique, et $\mathrm {X} '$ une fonction sphérique du second ordre telle que l’intégrale

$\iint \mathrm {X} '^{2}\,d\sigma$

étendue à toute la sphère ait une valeur constante donnée $\mathrm {K} ,$ la même pour toutes les fonctions sphériques $\mathrm {X} '.$ Nous écrirons simplement

(18)

$\mathrm {U} '_{2}=\sum \mathrm {A} '\mathrm {X} '\,\cos \theta ',$

en désignant, pour abréger, par

$\theta '=\alpha '\chi '+\beta 'l'+\gamma '\varpi '+h'$

l’argument du cosinus. Alors, d’après (16) et (18), l’expression (17) de $\mathrm {W}$ peut s’écrire, en faisant sortir du signe $\iint$ tout ce qui ne dépend pas des coordonnées du lieu A,

(19)

$\mathrm {W} =\sum \mathrm {AA} '\,\cos \varepsilon \,\cos(\theta -\varepsilon )\,\cos \theta '\,\iint \mathrm {XX} '\,d\sigma .$

Telle est l’expression de la fonction perturbatrice dont nous avons à chercher l’action sur l’orbite de la Lune.