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hypothèse de sir g. h. darwin

Dans ces expressions, le temps ne figure que dans le produit

$\cos(\theta -\varepsilon )\,\sin \theta ',$

produit qui, développé, fournit des termes en

${\cos \atop \sin }(\theta -\theta '),$

et des termes en

${\cos \atop \sin }(\theta +\theta ').$

Nous aurons donc, aux seconds membres des expressions (20), un terme indépendant de $t$ chaque fois que $\theta -\theta '$ ou $\theta +\theta '$ se réduira à une constante. Comme $\theta +\theta '$ n’est jamais une constante, les termes séculaires correspondent à

$\theta -\theta '={\text{const.}}$

c’est-à-dire à

(21)

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d\theta '}{dt}},$

Si l’astre troublant et l’astre troublé sont différents, cette condition n’est jamais remplie^[1], car le rapport des moyens mouvements de ces deux astres n’est pas commensurable. Nous pouvons donc dire que la marée solaire ne produit pas d’effet séculaire sur l’orbite lunaire.

Mais si l’astre troublant et l’astre troublé sont identiques, la condition (21) est remplie chaque fois que $\theta =\theta '$ et n’est remplie que dans ce cas : on a alors

$\cos(\theta -\varepsilon )\sin \theta '={\frac {1}{2}}\sin(\theta '-\theta +\varepsilon )+{\frac {1}{2}}\sin(\theta '+\theta -\varepsilon ),$

qui donne le terme constant

${\frac {1}{2}}\sin(\theta '-\theta +\varepsilon )={\frac {1}{2}}\sin \varepsilon .$

1. Excepté pour les termes sidéraux. Ces termes sidéraux n’ont d’ailleurs d’influence que sur l’inclinaison, et cette influence est faible.