135.Revenons maintenant à nos ellipsoïdes de Mac-Laurin et de Jacobi, figures d’équilibre d’une masse fluide homogène en rotation. On peut démontrer qu’il existe une infinité d’ellipsoïdes de Mac-Laurin, correspondant à des points N1, N2, N3, …,[1] de la droite AO (fig. 36), tels qu’une surface voisine Σ définie comme nous venons de le faire soit aussi une figure d’équilibre. De même, il existe une infinité d’ellipsoïdes de Jacobi, correspondant à des points M, M1, M2, …, M′, M′1, M′2, …, de la courbe DB, tels qu’une surface voisine Σ soit aussi une figure d’équilibre.
136.Parlons maintenant de la stabilité de nos figures d’équilibre. On démontre que les ellipsoïdes de Mac-Laurin sont stables de A en C et instables de C en O (fig.. 36). Pour les ellipsoïdes de Jacobi, il suffit d’examiner la demi-courbe CB : ils sont stables depuis C jusqu’au point M où l’on rencontre pour la première fois une figure Σ. ils sont instables de M en B.
Quant aux figures d’équilibre Σ voisines des ellipsoïdes, un démontre qu’elles sont toutes instables, sauf peut-être une seule, celle qui correspond justement au point M où l’ellipsoïde de Jacobi cesse d’être stable.
137.Considérons alors une masse fluide homogène animée originairement d’un mouvement de rotation et se refroidissant lentement. Si le refroidissement est assez lent, le frottement interne détermine la révolution de l’ensemble dans toutes ses parties avec la même vitesse angulaire. Le moment de rotation demeurera d’ailleurs constant.
Au début, la densité étant très faible, la figure de la masse est un ellipsoïde de révolution peu différent d’une sphère. Le refroidissement aura d’abord pour effet d’augmenter l’aplatissement de l’ellipsoïde qui restera cependant de révolution. Le point représentatif (fig. 36) décrira la portion de droite AC qui correspond aux ellipsoïdes de Mac-Laurin, et cela jusqu’en C où les ellipsoïdes de Mac-Laurin cessent d’être stables. Le point représentatif ne pouvant pas prendre le chemin CO prendra alors, par exemple, la direction CM ; l’ellipsoïde deviendra à trois axe inégaux, et cela jusqu’en M où les ellipsoïdes de Jacobi cessent d’être stables. À partir de là, la masse ne peut plus conserver la forme ellipsoïdale puisque celle-ci est devenue instable :
- ↑ Les points N, N1, N2, …, sont tous situés entre C et O.
