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hypothèses cosmogoniques
Quel est le potentiel
auquel est soumise cette masse
À l’intérieur de la sphère homogène l’attraction est proportionnelle à la distance au centre ; elle a pour valeur
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} a}{\mathrm {R} ^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74f82506ad9f5bab66e9546a4e88cd5c82ff86b)
à la distance
du centre : on a donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{da}}=-{\frac {\mathrm {M} a}{\mathrm {R} ^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450f38b5101d62f83f02c8a6b9702ec5bdff418f)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {C} -{\frac {\mathrm {M} a^{2}}{2\mathrm {R} ^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efed6ac7525e6cf429fefbe7b2cc34e065e27a70)
Comme, pour
on doit avoir
il est facile de calculer
la valeur de la constante
Remplaçant alors
par sa valeur on a
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {3\mathrm {M} }{2\mathrm {R} }}-{\frac {\mathrm {M} a^{2}}{2\mathrm {R} ^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0d95324bec683ba124875bdc59dfa627815c15)
L’énergie de gravitation de la sphère est donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int \mathrm {V} \,dm&=2\pi \rho \mathrm {M} \int _{0}^{\mathrm {R} }\left({\frac {3}{2\mathrm {R} }}-{\frac {a^{2}}{2\mathrm {R} ^{3}}}\right)a^{2}\,da\\[0.75ex]&=2\pi \rho \mathrm {M} \left({\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2}}-{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{10}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398dc4dafd78acf4024966a5a6c84d50ed30edda)
elle est proportionnelle à
![{\displaystyle \rho \mathrm {M} \mathrm {R} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f77932563eddf4a191f92d1ddc919adb2e39cf)
et, comme on a
![{\displaystyle 4\pi \rho \mathrm {R} ^{3}=\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719eb49afb52e15c3dcd53ad2e1059619b8d61d0)
on peut dire que l’énergie est proportionnelle à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {R} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2418f67d3dc9fb3f158421f59aca3a00224c5b1)
Donc, si
diminue, le travail est positif : une sphère gravitante
homogène qui se contracte en restant homogène fournit de l’énergie.
Helmholtz a calculé que, si la densité était uniforme dans tout le
Soleil, une contraction de 1/1 000 en diamètre fournirait un travail égal