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analyse de l’hypothèse de laplace

la pression, $\rho$ la densité, $\gamma$ le coefficient de viscosité, $u,\,v,\,w$ les composantes de la vitesse.

Si, dans les équations (3), nous multiplions

$x,\,y,\,z,\,t,\,\gamma$

par une même constante $n$, et que nous ne changions pas

$\mathrm {P} ,\,p,\,\rho ,\,u,\,v,\,w,$

ces équations ne changent pas.

Si donc nous considérons deux volumes fluides $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ homothétiques l’un de l’autre dans un rapport $n$, et qu’aux points homologues nous ayons les mêmes valeurs initiales de

$\mathrm {P} ,\,p,\,\rho ,\,u,\,v,\,w\,;$

si, en outre, le coefficient de viscosité $\gamma$ est $n$ fois plus grand pour le second volume que pour le premier, les phénomènes produits au bout du temps $t$ pour le premier volume se produiront pour le second au bout du temps $nt$. Le frottement agira donc plus lentement sur le second volume que sur le premier, bien que la viscosité du second volume soit plus forte.

Helmholtz a reconnu que, pour une atmosphère de 8 kilomètres d’épaisseur, le temps nécessaire pour réduire par le frottement de moitié une différence de vitesse est de 42 747 ans, soit 4.10⁴. Ici l’épaisseur de notre atmosphère est le rayon de l’orbite de Neptune, soit 4.10⁹ kilomètres ; le temps nécessaire pour réduire les différences de vitesse de moitié serait donc

$4.10^{4}\cdot {\frac {4.10^{9}}{8}}=2.10^{13}$

années, avec un coefficient de viscosité $\textstyle {\frac {4.10^{9}}{8}}$ plus grand que celui de notre atmosphère ; avec le même coefficient de viscosité, cela ferait

$2.10^{12}\cdot {\frac {4.10^{9}}{8}}=10^{21}$

années. Il faut donc, si l’on veut que la rotation ait pu se maintenir sensiblement uniforme, que le processus de refroidissement et de production des anneaux ait été excessivement lent.