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hypothèses cosmogoniques
et les trois premières équations (3) deviennent
(4)
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Dans le cas d’isothermie,
et
sont reliés par la loi de Mariotte ;
dans le cas d’adiabatie ils sont reliés par une autre formule ; mais,
dans les deux cas,
est fonction de
et
![{\displaystyle {\frac {dp}{\rho }}=d\mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21278bfec54336a790e64b748b5de9637c3d17a)
est une différentielle exacte. Multipliant les équations (4) respectivement par
et ajoutant les résultats obtenus, nous trouvons
![{\displaystyle d\mathrm {P} +d\mathrm {H} =\omega ^{2}(y\,dy+z\,dz),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a03e428a6d72db7bb63804d65e5fac4de58e0b6)
qui s’écrit
(5)
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en appelant
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b9fc919976937e38e3fdd61aa48cf9ebeadeb5)
la distance d’un point à l’axe de révolution.
Le premier membre de l’équation (5) étant une différentielle exacte,
il en est de même du second ; donc
ne doit dépendre que de
et
nous pouvons poser
![{\displaystyle \omega ^{2}\mathrm {R} =\varphi '(\mathrm {R} )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4831eb02dca7ae4523932614ee0a356d8c6f29)
l’équation (5) s’écrit alors
![{\displaystyle \quad d(\mathrm {P} +\mathrm {H} )=d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6681feb8c72fdc7033450e4bd0e79f9c9e02fdf8)
ce qui nous donne l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {P} +\mathrm {H} -\varphi =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e5019df04bd495666f35e272abac111e05cb79)
Les surfaces d’égale pression, qu’on peut encore appeler surfaces de
niveau, s’obtiendront en donnant à
une valeur constante ; elles auront donc pour équation
![{\displaystyle \varphi -\mathrm {P} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ebea6eb48c17fa9eb8b925be366f68f1cb2e60)