VI. — Rupture des anneaux de Laplace. Formation des planètes.
39.Revenons maintenant aux anneaux abandonnés par la nébuleuse de Laplace dans le plan de son équateur, et montrons qu’il arrivera un moment où ils seront nécessairement instables. Nous venons de trouver, dans la Section précédente, une limite supérieure et une limite inférieure pour la densité d’un anneau fluide. Pour qu’il y ait stabilité on doit avoir à la fois, d’après les inégalités (7) et (12),
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![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}4\pi \rho &<{\frac {\omega ^{2}}{14}},\\[0.75ex]4\pi \rho &>3\omega ^{2}+2\omega \omega '\mathrm {R} .\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f617475363b6c93e4ebfda490a0fc0671b62672)
À l’instant où l’anneau est abandonné, sa densité est très petite, donc la première inégalité est vérifiée. De plus, les particules de l’anneau se mouvant selon la troisième loi de Képler, on a
et par suite, en différentiant et en divisant par
la seconde inégalité est donc vérifiée aussi.
Donc l’anneau est stable au début. Mais cet état de choses ne peut pas durer. D’abord, par suite du refroidissement, la densité augmentera et la première inégalité pourra cesser d’être satisfaite. Ensuite, le frottement des couches les unes sur les autres tendra, d’après Laplace, à uniformiser la vitesse angulaire qui deviendra constante : la dérivée devenant nulle, les deux inégalités (13) deviennent incompatibles, et l’anneau ne peut pas subsister.
40.D’ailleurs, une cause autre que le frottement agit pour rendre uniforme et nul. Cette cause est celle qu’indique Laplace et que nous avons déjà signalée (Chap. I, p. 10, fig. 1). À l’instant où l’anneau est abandonné, la troisième loi de Képler donne, entre la vitesse angulaire d’une particule et sa distance au centre, la relation
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