Il reste ensuite à trouver la solution quantitative du problème ; mais, si l’inconnue ne peut être déterminée par un calcul fini, on peut la représenter toujours par une série infinie convergente qui permet de la calculer. Cela peut-il être regardé comme une vraie solution ? On raconte que Newton communiqua à Leibnitz un anagramme à peu près comme ceci : aaaaabbbeeeeii, etc. Leibnitz, naturellement, n’y comprit rien du tout ; mais nous, qui avons la clef, nous savons que cet anagramme veut dire, en le traduisant dans le langage moderne : Je sais intégrer toutes les équations différentielles, et nous sommes amenés à nous dire que Newton avait bien de la chance ou qu’il se faisait de singulières illusions. Il voulait dire, tout simplement, qu’il pouvait former (par la méthode des coefficients indéterminés) une série de puissances satisfaisant formellement à l’équation proposée.
Une semblable solution ne nous satisferait plus aujourd’hui, et cela pour deux raisons : parce que la convergence est trop lente, et parce que les termes se succèdent sans obéir à cette loi. Au contraire, la série q nous paraît ne rien laisser à désirer, d’abord parce qu’elle converge très vite (cela, c’est pour le praticien qui désire avoir son nombre le plus promptement possible), et ensuite parce que nous apercevons d’un coup d’œil la loi des termes (cela, c’est pour satisfaire les besoins esthétiques du théoricien).
