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Celle de Langevin :

$l=k^{-{\frac {1}{3}}},\quad k=\theta ,\quad klr={\text{const.}}$

On trouve ensuite :

$H={\frac {\varphi \left({\frac {\theta }{k}}\right)}{k^{2}r}}.$

Abraham trouve, à la différence des notations près (Göttinger Nachrichten, 1902, p. 37) :

$H={\frac {a}{r}}{\frac {1-\epsilon ^{2}}{\epsilon }}\log {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }},$

$a$ étant une constante. Or, dans l’hypothèse d’Abraham, on a $\theta =1\,;$ donc :

(5)

$\varphi \left({\frac {1}{k}}\right)=ak^{2}{\frac {1-\epsilon ^{2}}{\epsilon }}\log {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}={\frac {a}{\epsilon }}\log {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }},$

ce qui définit la fonction $\varphi .$

Cela posé, imaginons que l’électron soit soumis à une liaison, de telle façon qu’il y ait une relation entre $r$ et $\theta \,;$ dans l’hypothèse de Lorentz cette relation serait $\theta r={\text{const.}},$ dans celle de Langevin $\theta ^{2}r^{3}={\text{const.}}$ Nous supposerons d’une façon plus générale

$r=b\theta ^{m},$

$b$ étant une constante ; d’où :

$H={\frac {1}{bk^{2}}}\theta ^{-m}\varphi \left({\frac {\theta }{k}}\right).$

Quelle sera la forme que prendra l’électron quand la vitesse deviendra $-\epsilon t,$ si l’on ne suppose pas l’intervention d’autres forces que celles de liaison ? Cette forme sera définie par l’égalité :

(6)

${\frac {\partial H}{\partial \theta }}=0,$

ou

$-m\theta ^{-m-1}\varphi +\theta ^{-m}k^{-1}\varphi ^{\prime }=0,$

ou

${\frac {\varphi ^{\prime }}{\varphi }}={\frac {mk}{\theta }}.$

Si nous voulons que l’équilibre ait lieu de telle façon que $\theta =k,$ il faut que pour ${\frac {\theta }{k}}=1,$ la dérivée logarithmique de $\phi$ soit égale à $m.$

Si nous développons ${\frac {1}{k}}$ et le 2^d membre de (5) suivant les puissances de $\epsilon ,$ l’équation (5) devient :

$\varphi \left(1-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\right)=a\left(1-{\frac {\epsilon ^{2}}{3}}\right),$

en négligeant les puissances supérieures de $\epsilon .$