Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/29

et si aucune autre force n’intervient en dehors des forces de liaison, la forme que prendra cet électron, quand il sera animé d’une vitesse uniforme, ne pourra être telle que l’électron idéal correspondant soit une sphère, que dans le cas où la liaison sera que le volume soit constant, conformément à l’hypothèse de Langevin.

Nous sommes amenés de la sorte à nous poser le problème suivant : quelles forces supplémentaires, autres que les forces de liaison, serait-il nécessaire de faire intervenir pour rendre compte de la loi de Lorentz ou, plus généralement, de toute loi autre que celle de Langevin ?

L’hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c’est que ces forces supplémentaires dérivent d’un potentiel spécial dérivant des trois axes de l’ellipsoïde, et par conséquent de $\theta$ et de $r\,;$ soit $F(\theta ,r)$ ce potentiel ; dans ce cas l’action aura pour expression :

$J=\int \left[H+F(\theta ,r)\right]dt$

et les conditions d’équilibre s’écriront :

(8)

${\frac {dH}{d\theta }}+{\frac {dF}{d\theta }}=0,\quad {\frac {dH}{dr}}+{\frac {dF}{dr}}=0.$

Si nous supposons $r$ et $\theta$ liés par la liaison $r=b\theta ^{m},$ nous pourrons regarder $r$ comme fonction de $\theta ,$ envisager $F$ comme ne dépendant que de $\theta$ et conserver seulement la 1^ère équation (8) avec :

$H={\frac {\varphi }{bk^{2}\theta ^{m}}},\quad {\frac {dH}{d\theta }}={\frac {-m\theta }{bk^{2}\theta ^{m+1}}}+{\frac {\varphi ^{\prime }}{bk^{3}\theta ^{m}}}.$

Il faut que, pour $k=\theta ,$ l’équation (8) soit satisfaite ; ce qui donne, en tenant compte des équations (7) :

${\frac {dF}{d\theta }}={\frac {ma}{b\theta ^{m+3}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {a}{b\theta ^{m+3}}},$

d’où :

$F={\frac {-a}{b\theta ^{m+2}}}{\frac {m+{\frac {2}{3}}}{m+2}}$

et dans l’hypothèse de Lorentz, où $m=-1\,:$

$F={\frac {a}{3b\theta }}.$

Supposons maintenant qu’il n’y ait aucune liaison et, considérant $r$ et $\theta$ comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (8) ; il viendra :

$H={\frac {\varphi }{k^{2}r}},\quad {\frac {dH}{d\theta }}={\frac {\varphi ^{\prime }}{k^{3}r}},\quad {\frac {dH}{dr}}={\frac {-\varphi }{k^{2}r^{2}}}.$

Les équations (8) doivent être satisfaites pour $k=\theta ,$ $r=b\theta ^{m}\,;$ ce qui donne :

(9)

${\frac {dF}{dr}}={\frac {a}{b^{2}\theta ^{2m+2}}},\quad {\frac {dF}{d\theta }}={\frac {2}{3}}{\frac {a}{b\theta ^{m+3}}}.$