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C’est pourquoi Abraham a donné à ${\frac {dD}{dV}}$ le nom de masse longitudinale et ${\frac {D}{V}}$ le nom de masse transversale ; rappelons que $D={\frac {dH}{dV}}.$

Dans l’hypothèse de Lorentz, on a :

$D=-{\frac {dH}{dV}}=-{\frac {\partial H}{\partial V}},$

${\frac {\partial H}{\partial V}}$ représentant la dérivée par rapport à V, après que $r$ et $\theta$ ont été remplacés par leurs valeurs en fonctions de $V$ tirées des deux premières équations (1) ; on aura d’ailleurs, après cette substitution,

$H=+A{\sqrt {1-V^{2}}}.$

Nous choisirons les unités de telle façon que le facteur constant $A$ soit égal a 1, et je pose ${\sqrt {1-V^{2}}}=h,$ d’où :

$H=+h,\quad D={\frac {V}{h}},\quad {\frac {dD}{dV}}=h^{-3},\quad {\frac {dD}{dV}}{\frac {1}{V^{2}}}-{\frac {D}{V^{3}}}=h^{-3}.$

Nous poserons encore :

$M=V{\frac {dV}{dt}}=\sum \xi {\frac {d\xi }{dt}},\quad X_{1}=\int Xd\tau$

et nous trouverons pour l’équation du mouvement quasi-stationnaire :

(5)

$h^{-1}{\frac {d\xi }{dt}}+h^{-3}\xi M=X_{1}.$

Voyons ce que deviennent ces équations par la transformation de Lorentz. Nous poserons : $1+\xi \epsilon =\mu ,$ et nous aurons d’abord :

$\mu \xi ^{\prime }=\xi +\epsilon ,\quad \mu \eta ^{\prime }={\frac {\eta }{k}},\quad \mu \zeta ^{\prime }={\frac {\zeta }{k}},$

d’où l’on tire aisément

$\mu h^{\prime }={\frac {h}{k}}.$

Nous avons également

$dt^{\prime }=k\ \mu \ dt,$

d’où :

${\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},$

d’où encore :

$M^{\prime }={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\epsilon h^{2}}{k^{3}\mu ^{4}}}+{\frac {M}{k^{3}\mu ^{3}}}$

et

(6)

$h^{\prime -1}{\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}+h^{\prime -3}\xi ^{\prime }M^{\prime }=\left[h^{-1}{\frac {d\xi }{dt}}+h^{-3}(\xi +\epsilon )M\right]\mu ^{-1},$