CHAPITRE PREMIER
THÉORÈME DE HELMHOLTZ
1. Équations de l’hydrodynamique. — Soient
les coordonnées d’une molécule de fluide à l’origine des
temps
ses coordonnées au temps
les composantes de sa vitesse ;
la densité du fluide,
sa
pression.
On peut prendre comme variables
c’est le système de Lagrange, ou
c’est le système d’Euler.
Dans ce qui suivra, j’adopterai les notations suivantes ; je désignerai par :
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}},\quad {\frac {du}{dx_{0}}},\quad {\frac {du}{dy_{0}}},\quad {\frac {du}{dz_{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1716a4a053904155ea94be346a03dd6bb9c42d0a)
les dérivées prises par rapport aux variables de Lagrange, et par :
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}},\quad {\frac {\partial u}{\partial x}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{0}}},\quad {\frac {\partial u}{\partial z_{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d808116372e894b1d2ef9473b711f31e4e50c07)
les dérivées prises par rapport aux variables d’Euler.
Dans le système de Lagrange,
sont fonctions de
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {dy}{dt}}=v,\quad {\frac {dr}{dt}}=w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21f9d96432a1e27ee8ac986103d6f416bb8d03d)