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THÉORÈME DE HELMHOLTZ

sont les composantes de la vitesse ;

${\frac {du}{dt}},\quad {\frac {dv}{dt}},\quad {\frac {dw}{dt}},$

celles de l’accélération.

Pour passer d’un système de variables à l’autre, il suffit d’appliquer les règles ordinaires de la différentiation, et d’écrire :

${\frac {du}{dt}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}$

ou

(1)

${\frac {du}{dt}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}$

Et de même

(2)

${\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+u{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial y}}+w{\frac {\partial \rho }{\partial z}}$

Soit un élément de volume $dz$ : la masse de liquide qu’il renferme est $\rho d\tau$. J’appellerai $\rho \mathrm {X} d\tau ,\rho \mathrm {Y} d\tau ,\rho \mathrm {Z} d\tau$ les projections sur les axes de la résultante de toutes les forces qui agissent sur cet élément. Les équations de l’hydrostatique, exprimant que cet élément est en équilibre, sont les suivantes :

(3)

${\begin{aligned}&{\frac {\partial p}{\partial x}}=\rho \mathrm {X} \\&{\frac {\partial p}{\partial y}}=\rho \mathrm {Y} \\&{\frac {\partial p}{\partial z}}=\rho \mathrm {Z} \end{aligned}}$