En remarquant que
et
ne dépendent pas de
et qu’on doit intégrer entre
et
cette expression s’écrit :
![{\displaystyle l\int \psi \mu ''d\omega +l\int \psi \mu 'ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903396384dd7efa5fed2f4d78baddd834610cc7c)
Posons :
![{\displaystyle \mathrm {P} =\int \psi \mu ''d\omega +\int \psi \mu 'ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0efd12da3d6403c773e7678aaa9200f70c814c4)
Le travail des forces électrostatiques sera représenté par :
![{\displaystyle d\mathrm {T} =ld\mathrm {P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bc03b3d2cfa196eb767a76d97e310277abed2a)
104. Faisons le même calcul pour les forces
seules. La charge d’un petit cylindre est
et son potentiel
![{\displaystyle \psi ''-\log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1149f091487ea0643b209cbb0a2dd85754a9ab26)
il vient donc :
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {T} &={\frac {1}{2}}d\int \left[\psi ''-\log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}\right]\mu ''d\omega dz\\&={\frac {1}{2}}d\int \psi ''\mu ''d\omega dz-{\frac {1}{2}}d\int \mu ''d\omega \log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}dz\\&=ld\int \psi ''\mu ''d\omega -{\frac {1}{2}}\int \mu ''d\omega \int _{-l}^{+l}\log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92386c074950728a232c4275c1d95b0c63c0bda)
car
ne depend pas de
Les deux dernières intégrales sont des constantes. En posant par conséquent :
![{\displaystyle \mathrm {P} '=\int \psi ''\mu ''d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1008361b957c5d7845671e613569243494f60105)
le travail des forces
aura pour expression ;
![{\displaystyle ld\mathrm {P} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c689e0d1826918cde7a27ee5e5f24f836e0a81b)