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Posons encore :

$x_{0}'-{\sqrt {-1}}y_{0}'=\mathrm {U} _{0}'.$

Pour pouvoir appliquer les formules, il nous faut trouver une autre représentation conforme telle qu’au point $\mathrm {G}$ corresponde le point $\mathrm {O} ,$ et à $\mathrm {M}$ un point $\mathrm {M} ''(x'',y'')$ tel que :

$x''+{\sqrt {-1}}y''=\mathrm {Z} ''=\varphi (\mathrm {Z} )$

Pendant le déplacement du point $\mathrm {G} ,$ la forme de la fonction $\varphi$ variera, mais celle de $f$ demeurera la même, car dans la définition de $f$ le point $\mathrm {G}$ ne joue aucun rôle.

Nous savons [88] qu’il suffit de prendre :

$\mathrm {Z} ''={\frac {\mathrm {Z} '-\mathrm {Z} _{0}'}{\mathrm {Z} '\mathrm {U} _{0}'-1}}.$

En effet : si ${\text{mod}}\ \mathrm {Z} '=1,$ on a ${\text{mod}}\ \mathrm {Z} ''=1.$

Si $\mathrm {Z} =\mathrm {Z} _{0},$ $\mathrm {Z} '=\mathrm {Z} _{0}'$ et $\mathrm {Z} _{0}''=0,$ c’est-à-dire qu’au point $\mathrm {G}$ correspond bien le point $\mathrm {O} .$

$\mathrm {Z} ''$ est une fonction de $x$ et de $y\ :$

${\begin{aligned}&\mathrm {Z} ''=e^{\psi +{\sqrt {-1}}\varphi }\\&\psi =p\ {\text{réelle}}\ {\text{de}}\ \log \mathrm {Z} ''=\log \left|\mathrm {Z} ''\right|\\&\psi ''=\log \rho _{0}\end{aligned}}$

en prenant :

$\rho _{0}=\mathrm {MG} =\left|\mathrm {Z} -\mathrm {Z} _{0}\right|$

$\psi '=\log \left|{\frac {\mathrm {Z} ''}{\mathrm {Z} -\mathrm {Z} _{0}}}\right|=\log \left|{\frac {\mathrm {Z} '-\mathrm {Z} _{0}'}{\mathrm {Z} -\mathrm {Z} _{0}}}\right|-\log \left|\mathrm {Z} '\mathrm {U} _{0}'-1\right|$

$\psi _{0}'$ est la valeur de cette expression pour $\mathrm {Z} =\mathrm {Z} _{0},$ soit en