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étendue à tous les éléments de courant représente l’énergie cinétique. Si pour un instant nous désignons avec Maxwell par $u,$ $v,$ $w$ les composantes du courant, Maxwell démontre que :

(6)

${\frac {1}{2}}\int ids\mathrm {P} ={\frac {1}{2}}\int \left(\mathrm {F} u+\mathrm {G} v+\mathrm {H} w\right)d\tau .$

(Cf. Électricité et Optique, I, page 153.)

Dans nos notations actuelles les composantes du courant sont

${\frac {\xi }{2\pi }},{\frac {\eta }{2\pi }},{\frac {\zeta }{2\pi }},$

d’où :

${\frac {1}{2}}\int ids\mathrm {P} ={\frac {1}{2}}\int \left(\mathrm {F} {\frac {\xi }{2\pi }}+\mathrm {G} {\frac {\eta }{2\pi }}+\mathrm {H} {\frac {\zeta }{2\pi }}\right)d\tau ={\frac {1}{4\pi }}\int \left(\mathrm {F} \xi +\mathrm {G} \eta +\mathrm {H} \zeta \right)d\tau ,$

et

(7)

$\mathrm {T} =\int \left(\mathrm {F} \xi +\mathrm {G} \eta +\mathrm {H} \zeta \right)d\tau .$

111. L’identité de ces deux expressions se démontre d’ailleurs directement. En effet :

$\int \left(\mathrm {F} \xi +\mathrm {G} \eta +\mathrm {H} \zeta \right)d\tau =\int \sum \mathrm {F} \xi d\tau =\int \sum \mathrm {F} {\frac {dw}{dy}}d\tau -\int \sum \mathrm {F} {\frac {dv}{dz}}d\tau .$

Remarquons que $d\tau =dxdydz,$ et intégrons par parties :

$\int \mathrm {F} {\frac {dw}{dy}}dxdydz=\int \mathrm {F} wdxdz-\int w{\frac {d\mathrm {F} }{dy}}d\tau .$

Nous devons intégrer entre $-\infty$ et $+\infty .$ Or, à l’infini,