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THÉORÈME DE HELMHOLTZ
À l’extérieur du cylindre, nous aurons :
![{\displaystyle x=x_{0}\quad y=y_{0}\quad z=z_{0}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620cd515bb0379291cc5d679fade213d6803f2dd)
à l’intérieur :
![{\displaystyle x=x_{0}+vt\quad y=y_{0}\quad z=z_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39227c5eb5f6b794f7a8c2c68c572452410f258a)
est donc une fonction discontinue de
Si
sont des fonctions continues de
les molécules de liquide qui au temps
forment une courbe ou
une surface continue formeront encore une courbe ou une surface continue à une époque quelconque
; si la courbe au
temps
est fermée, elle le sera encore au temps
.
En effet, supposons que les molécules dans leurs positions
initiales forment un certain arc de courbe. Les équations de
cet arc de courbe pourront se mettre sous la forme :
![{\displaystyle x_{0}=f_{0}(\alpha )\quad y_{0}=f_{0}^{'}(\alpha )\quad z_{0}=f_{0}^{''}(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5bd26bda26ed4f67c433cb5fd284ab5f18b95c)
étant des fonctions continues du paramètre
.
Au temps
, les coordonnées des molécules deviennent
qui, par hypothèse, sont des fonctions continues de
.
Ce seront par conséquent des fonctions continues de
:
![{\displaystyle x=f(\alpha )\quad y=f^{'}(\alpha )\quad z=f^{''}(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a54709a0cc052abcc7ff9a408008ab6c38c9842)
Ces équations représentent encore un arc de courbe continue.
Si la courbe initiale
est fermée,
sont des fonctions périodiques de
. Comme
sont des fonctions uniformes de
ce seront aussi des fonctions périodiques
de
; et la courbe
qu’occupent les molécules à l’époque
,
sera également fermée.
Si les molécules, à l’origine des temps, occupent une sur-