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ÉQUATION DE CONTINUITÉ
face
face continue
leurs coordonnées pourront s’exprimer par :
![{\displaystyle x_{0}=f_{0}(\alpha ,\beta ),\quad y_{0}=f_{0}^{'}(\alpha ,\beta ),z_{0}=f_{0}^{''}(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463f6e8a027d0452ec96fb611603418353b263bc)
étant des fonctions continues des paramètres
.
À l’époque
les coordonnées deviennent
qui sont
fonctions continues de
et par conséquent de
.
Donc :
![{\displaystyle x=f(\alpha ,\beta ),\quad y=f^{'}(\alpha ,\beta ),\quad z=f^{''}(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b3809cfbf5c5c2bcb35a0cc7c9533c13c20ee5)
étant des fonctions continues ; ces équations représentent encore, par conséquent, une surface
continue.
3. Équation de continuité. — Considérons un élément
de surface
, et cherchons à évaluer la quantité de fluide
qui traverse cet élément pendant le temps
. Les molécules
qui ont traversé l’élément
à l’époque
occupent au
temps
un élément de surface
infiniment voisin
de
; en particulier, celle qui se trouvait au centre de gravité
de
est venue en
; celles qui traversent
à
l’époque
occupent cet élément lui-même. Enfin, celles
qui ont traversé
entre les deux époques
et
se trouveront dans des positions intermédiaires.
![Fig. 1.](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Poincar%C3%A9_-_Th%C3%A9orie_des_tourbillons%2C_1893_fig1.jpg/90px-Poincar%C3%A9_-_Th%C3%A9orie_des_tourbillons%2C_1893_fig1.jpg)
Fig. 1.
En résumé, toutes les molécules qui ont passé
par
pendant le temps
se trouvent à l’instant
dans un volume assimilable à un cylindre
ayant pour base l’élément
et dont les génératrices sont
parallèles à
(fig. 1). D’ailleurs
étant la vitesse du fluide à l’instant considéré. La hauteur de ce cylindre
est la projection de
sur la normale à
soit :
![{\displaystyle \mathrm {V} dt.\cos \left(\mathrm {G} ^{'}\mathrm {G} \mathrm {N} \right)=\mathrm {V} _{n}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fdd6da8b507fcadea93e83c4259f179e35d683)