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Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/15

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ÉQUATION DE CONTINUITÉ

face face continue leurs coordonnées pourront s’exprimer par :


étant des fonctions continues des paramètres . À l’époque les coordonnées deviennent qui sont fonctions continues de et par conséquent de . Donc :


étant des fonctions continues ; ces équations représentent encore, par conséquent, une surface continue.

3. Équation de continuité. — Considérons un élément de surface , et cherchons à évaluer la quantité de fluide qui traverse cet élément pendant le temps . Les molécules qui ont traversé l’élément à l’époque occupent au temps un élément de surface infiniment voisin de  ; en particulier, celle qui se trouvait au centre de gravité de est venue en  ; celles qui traversent à l’époque occupent cet élément lui-même. Enfin, celles qui ont traversé entre les deux époques et se trouveront dans des positions intermédiaires.

Fig. 1.
Fig. 1.

En résumé, toutes les molécules qui ont passé par pendant le temps se trouvent à l’instant dans un volume assimilable à un cylindre ayant pour base l’élément et dont les génératrices sont parallèles à (fig. 1). D’ailleurs étant la vitesse du fluide à l’instant considéré. La hauteur de ce cylindre est la projection de sur la normale à soit :