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ÉQUATION DE CONTINUITÉ

face face continue $\mathrm {S} _{0},$ leurs coordonnées pourront s’exprimer par :

$x_{0}=f_{0}(\alpha ,\beta ),\quad y_{0}=f_{0}^{'}(\alpha ,\beta ),z_{0}=f_{0}^{''}(\alpha ,\beta )$

$f_{0},f_{0}^{'},f_{0}^{''}$ étant des fonctions continues des paramètres $(\alpha ,\beta )$. À l’époque $t,$ les coordonnées deviennent $x,y,z,$ qui sont fonctions continues de $x_{0},y_{0},z_{0}$ et par conséquent de $(\alpha ,\beta )$. Donc :

$x=f(\alpha ,\beta ),\quad y=f^{'}(\alpha ,\beta ),\quad z=f^{''}(\alpha ,\beta )$

$f,f^{'},f^{''}$ étant des fonctions continues ; ces équations représentent encore, par conséquent, une surface $\mathrm {S}$ continue.

3. Équation de continuité. — Considérons un élément de surface $d\omega$, et cherchons à évaluer la quantité de fluide qui traverse cet élément pendant le temps $dt$. Les molécules qui ont traversé l’élément $d\omega$ à l’époque $t$ occupent au temps $t+dt$ un élément de surface $d\omega ^{'},$ infiniment voisin de $d\omega$ ; en particulier, celle qui se trouvait au centre de gravité $\mathrm {G}$ de $d\omega$ est venue en $\mathrm {G} ^{'}$ ; celles qui traversent $d\omega$ à l’époque $t+dt$ occupent cet élément lui-même. Enfin, celles qui ont traversé $d\omega$ entre les deux époques $t$ et $t+dt$ se trouveront dans des positions intermédiaires.

Fig. 1.

En résumé, toutes les molécules qui ont passé par $d\omega$ pendant le temps $dt$ se trouvent à l’instant $t+dt$ dans un volume assimilable à un cylindre ayant pour base l’élément $d\omega ,$ et dont les génératrices sont parallèles à $\mathrm {G} \mathrm {G} ^{'}$ (fig. 1). D’ailleurs $\mathrm {G} \mathrm {G} ^{'}=\mathrm {V} dt,$ $\mathrm {V}$ étant la vitesse du fluide à l’instant considéré. La hauteur de ce cylindre est la projection de $\mathrm {G} \mathrm {G} ^{'}$ sur la normale à $d\omega$ soit :

$\mathrm {V} dt.\cos \left(\mathrm {G} ^{'}\mathrm {G} \mathrm {N} \right)=\mathrm {V} _{n}dt.$