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THÉORÈME DE STOKES

Par conséquent :

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \left[d\psi +{\frac {1}{2}}d\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right].$

L’expression sous le signe $\textstyle \int$ étant une différentieile exacte, l’intégrale prise le long d’une courbe fermée est nulle et

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${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=0.$

7. Remarque. — Ce théorème est vrai, à condition que $d\psi$ soit une différentielle exacte, autrement dit que $\rho$ soit fonction de $p$, et que les forces extérieures admettent un potentiel, c’est-à-dire qu’il n’y ait pas de frottements. On exprime quelquefois cette dernière condition en disant que le théorème est vrai quand il n’y a pas de forces instantanées ; cet énoncé est inexact.

8. Théorème de Stokes. — Pour transformer le théorème de Helmholtz, tel que je viens de le démontrer, je ferai usage d’un théorème dû à Stokes, que je vais rappeler.

Soit une courbe fermée $\mathrm {C}$ ; faisons passer par cette courbe une surface quelconque : la courbe $\mathrm {C}$ limite sur cette surface une certaine aire $\mathrm {A}$. Soient $d\omega$ un élément de cette aire ; $l,m,n,$ les cosinus directeurs de la normale à $d\omega$. D’après le théorème de Stokes, on a :

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$\int _{C}\left(udx+vdy+wdz\right)$

$=\int dw\left[l\left({\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\right)+m\left({\frac {du}{dz}}-{\frac {dw}{dx}}\right)+n\left({\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\right)\right]$

la première intégrale étant étendue à tous les éléments de $\mathrm {C}$, la seconde à tous les éléments $d\omega$ de l’aire $\mathrm {A} .$