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THÉORÈME DE HELMHOLTZ

1^o Supposons d’abord que l’aire $\mathrm {A}$ soit plane et située dans le plan des $(x,y),$ par exemple. Dans ce cas :

$l=m=0\quad n=1\quad dx=0\quad d\omega =dxdy$

et il reste :

$\int _{C}udx+vdy=\int dxdy\left({\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\right)\ ;$

C’est l’expression d’un théorème d’analyse bien connu. Il en serait de même dans les deux autres plans de coordonnées.

Fig. 3. 2^o L’aire $\mathrm {A}$ est plane, mais située dans un plan quelconque.

Soient trois longueurs infiniment petites, $\mathrm {OA,OB,OC}$ (fig. 3) parallèles aux axes ; joignons $\mathrm {ABC}$ ; le triangle $\mathrm {ABC}$ est plan et infiniment petit. Je dis que le théorème est vrai pour ce triangle. On a évidemment :

$\int _{\mathrm {ABCA} }=\int _{\mathrm {ABOA} }+\int _{\mathrm {BCOB} }+\int _{\mathrm {CAOC} }$

En effet, les côtés $\mathrm {OA,OB,OC}$ sont parcourus deux fois en sens contraire, et il ne reste dans le second membre que les $\textstyle \int$ prises le long de $\mathrm {AB,BC,CA,}$ comme dans le premier membre ; comme les triangles $\mathrm {AOB} ,$ etc., sont infiniment petits, je puis écrire :

${\begin{aligned}\int \left(udx+vdy+wdz\right)&={\overline {\mathrm {AOB} }}\left({\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\right)\\&+{\overline {\mathrm {AOC} }}\left({\frac {du}{dz}}-{\frac {dw}{dx}}\right)\\&+{\overline {\mathrm {BOC} }}\left({\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\right)\end{aligned}}$