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DÉFINITION DU TOURBILLON

en appliquant à chacun de ces triangles situés dans les plans de coordonnées l’égalité (1). Or ces triangles ne sont autre chose que les projections de $\mathrm {ABC}$ sur ces plans : donc, si

${\begin{aligned}\mathrm {ABC} &=d\omega ,\\\mathrm {AOB} =ld\omega \quad \mathrm {AOC} &=md\omega \quad \mathrm {BOC} =nd\omega \end{aligned}}$

et on a bien :

$\int udx+vdy+wdz=\int ld\omega \left({\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\right)+\ldots$

Le théorème est ainsi démontré d’une façon générale, car une aire quelconque peut être décomposée en triangles assez petits pour être assimilés à des triangles plans tels que $\mathrm {ABC} .$

Maxwell a fait un fréquent usage de ce théorème. (Voir son Traité.)

9. Notations de Helmholtz. — Définition du tourbillon. — Helmholtz pose :

(11)

${\begin{aligned}{\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}&=2\xi \\{\frac {du}{dz}}-{\frac {dw}{dx}}&=2\eta \\{\frac {dv}{dz}}-{\frac {du}{dy}}&=2\zeta .\end{aligned}}$

D’après la formule de Stokes, il vient alors :

$\int \left(udw+vdy+wdz\right)=2\int d\omega \left(l\xi +m\eta +b\zeta \right).$

D’après ce que nous avons établi (6), cette intégrale étendue à l’aire $\mathrm {A}$ demeure constante pendant le mouvement de cette aire.